Obtenha o valor de M, para que o sistema lx+M y-(M+1) z=1 M x+4 y+(M-1) z=3, nas incógnitas x, y, z, seja compatível.

Passo 1

O enunciado dá um sistema de duas equações lineares em três incógnitas
O conteúdo aqui é o estudo da compatibilidade de sistemas lineares, ou seja, verificar para quais valores de (M] o sistema não se torna inconsistente (sem solução). Em geral, um sistema com menos equações que incógnitas é compatível, a menos que as equações sejam contraditórias (uma seja múltiplo da outra com termos independentes incompatíveis).

Passo 2

Para o sistema ser incompatível, as duas equações teriam de ser proporcionais nos coeficientes de x,y,z mas não nos termos independentes. Suponhamos então que exista lambda tal que a segunda equação seja lambda vezes a primeira. Comparando coeficientes:
Comparando x:
M = lambda cdot 1 Longrightarrow lambda = M

Passo 3

Comparando y:
4 = lambda cdot M = M cdot M = M^2 Longrightarrow M^2 = 4 Longrightarrow M = pm 2
Comparando z:
M-1 = lambda cdot l[-(M+1)r] = -M,(M+1) Longrightarrow M-1 = -M^2 - M Longrightarrow M^2 + 2M - 1 = 0 Longrightarrow M = -1 pm raiz2
Não existe M que seja simultaneamente pm2 e -1pmraiz2. Logo, nunca ocorre a situação de as duas equações serem proporcionais de modo a gerar contradição.

Passo 4

Como não há valor de M que torne as equações contraditórias, o sistema é sempre compatível, para todo MinR.

Resposta

O sistema é compatível para todo MinR.

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