Considere a matriz A. Calcule det(A) com uma expansão em cofatores ao longo de uma linha ou coluna de sua escolha. En seguida, calcule det(2 A^-1).
A=(cccc 3 & 3 & 0 & 5 2 & 2 & 0 & -2 4 & 1 & -3 & 0 2 & 10 & 3 & 2 )4 times 4

Passo 1

O enunciado pede para calcular det(A) fazendo expansão em cofatores ao longo de uma linha ou coluna conveniente, e em seguida determinar det(2A^-1). O conteúdo chave aqui é a definição de determinante por expansão de Laplace e a propriedade
det(kB)=k^ndet(B)
para Bin R^ntimes n. Vamos usar expansão ao longo da 3ª coluna de A, pois ela tem dois zeros, e depois usar det(A^-1)=1/det(A).

Passo 2

A 3ª coluna de
A= 3 & 3 & 0 & 5 2 & 2 & 0 & -2 4 & 1 & -3 & 0 2 & 10 & 3 & 2
é (0,0,-3,3)^T. Logo
det(A) =(-3),C3,3+3,C4,3,
onde
C3,3=(-1)^3+3M3,3=M3,3, C4,3=(-1)^4+3M4,3=-M4,3
Aqui M3,3 é o determinante do sub-bloco obtido ao remover a linha 3 e a coluna 3, ou seja
M3,3 =det! 3 & 3 & 5 2 & 2 & -2 2 & 10 & 2 =32&-210&2 -32&-22&2 +52&22&10 =72-24+80=128
E M4,3 vem de remover a linha 4 e a coluna 3, isto é
M4,3 =det! 3 & 3 & 5 2 & 2 & -2 4 & 1 & 0 =32&-21&0 -32&-24&0 +52&24&1 =6-24-30=-48
Portanto
C3,3=128, C4,3=-(-48)=48,
det(A)=(-3)cdot128+3cdot48=-384+144=-240

Passo 3

Para det(2A^-1) usamos
det(2A^-1)=2^4det(A^-1)=16cdot1det(A)=16cdot1-240=-16240=-115

Resposta

det(A)=-240
det(2A^-1)=-tfrac115

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