Considere o plano alpha de equação 2 x+y-z=4 e a reta r de equação (x, y, z)= (0,3,-4)+t(1,-1,2).
Determine a reta que é a projeção ortogonal de r sobre alpha.

Passo 1

O enunciado dá o plano alpha de equação
alpha:2x+y-z=4
e a reta
r:(x,y,z)=(0,3,-4)+t,(1,-1,2)
Queremos a projeção ortogonal de r sobre alpha, isto é, o lugar geométrico dos pés das perpendiculares traçadas de cada ponto de r a alpha. Para isso vamos usar a fórmula do pé H da perpendicular de um ponto P ao plano
H = P ;-;a xP + b yP + c zP - da^2+b^2+c^2,(a,b,c),
onde ax+by+cz=d é a equação do plano.

Passo 2

Parametrizamos um ponto genérico de r por
P(t) = (t,;3-t,;-4+2t)
O vetor normal ao plano é n=(2,1,-1) e | n|^2=2^2+1^2+(-1)^2=6. Calculamos
lambda=2t+(3-t)-(-4+2t)-46 =3-t6
Logo o pé da perpendicular de P(t) em alpha é
H(t) = P(t);-;lambda, n = (t,,3-t,,-4+2t);-;3-t6(2,1,-1)

Passo 3

Fazendo as subtrações componente a componente obtemos
H(t) =l(tfrac4t-33,;tfrac15-5t6,;tfrac11t-216r)
Como H(t) depende linearmente de t, isso descreve uma reta em alpha.

Passo 4

Extraímos um ponto e uma direção dessa reta.
  • Para t=0 temos H(0)=l(-1,;tfrac52,;-tfrac72r)
  • A direção é o coeficiente de t em H(t), ou seja v'=l(tfrac43,,-tfrac56,,tfrac116r), que é proporcional ao vetor inteiro (8,-5,11).
Portanto a projeção de r sobre alpha é a reta que passa por l(-1,tfrac52,-tfrac72r) e tem direção (8,-5,11).

Resposta

A projeção ortogonal de r sobre alpha é
(x,y,z)=l(-1,tfrac52,-tfrac72r)+s,(8,-5,11), sinR

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