Considere o plano
de equação
e a reta
de equação
.
Determine a reta que é a projeção ortogonal de
sobre
.
Determine a reta que é a projeção ortogonal de
Passo 1
O enunciado dá o plano
de equação
e a reta
Queremos a projeção ortogonal de
sobre
, isto é, o lugar geométrico dos pés das perpendiculares traçadas de cada ponto de
a
. Para isso vamos usar a fórmula do pé
da perpendicular de um ponto
ao plano
onde
é a equação do plano.
Passo 2
Parametrizamos um ponto genérico de
por
O vetor normal ao plano é
e
. Calculamos
Logo o pé da perpendicular de
em
é
Passo 3
Fazendo as subtrações componente a componente obtemos
Como
depende linearmente de
, isso descreve uma reta em
.
Passo 4
Extraímos um ponto e uma direção dessa reta.
- Para
temos - A direção é o coeficiente de
em , ou seja que é proporcional ao vetor inteiro .
Portanto a projeção de
sobre
é a reta que passa por
e tem direção
.
Resposta
A projeção ortogonal de
sobre
é