Considere os planos alpha: x-y+3 z=1, beta: 2 x-3 y-z=2.
Determine a equação da reta alpha cap beta.

Passo 1

O enunciado pede a reta alphacapbeta definida pela interseção dos planos
alpha: x - y + 3z =1 e beta: 2x -3y - z = 2.
O conteúdo é geometria analítica no espaço, mais especificamente como achar a reta interseção de dois planos. Para isso vamos precisar dos vetores normais de cada plano, do produto vetorial para achar o vetor diretor da reta e da solução de um sistema linear para achar um ponto de interseção.

Passo 2

Para achar o vetor diretor da reta usamos que ele é perpendicular a ambos os vetores normais, ou seja, é dado pelo produto vetorial
vec v = vec nalpha times vec nbeta
onde
vec nalpha=(1,-1,3) e vec nbeta=(2,-3,-1).
Calculando o determinante, temos
vec v = i & j & k 1 & -1 & 3 2 & -3 & -1 = l((-1)(-1)-3(-3),; -l(1cdot(-1)-3cdot2r),;1cdot(-3)-(-1)cdot2r) = (10,7,-1)

Passo 3

Precisamos de um ponto que satisfaça simultaneamente as equações dos planos. Podemos escolher
Da primeira equação vem . Assim um ponto na reta é .

Passo 4

Com o ponto P e o vetor diretor vec v podemos escrever a equação vetorial e as equações paramétricas da reta:
(x,y,z) = (1,0,0) + t,(10,7,-1), tin R,
ou, em forma simétrica,
x-110 = y7 = z-1

Resposta

(x,y,z) = (1,0,0) + t,(10,7,-1), tin R
Ou ainda
x-110 = y7 = z-1

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