Considere a matriz .
Calcule o polinômio característico e autovalores de A.
Passo 1
Então, temos uma matriz quadrada A = 3 & 4 & 1 -3 & -5 & 2 0 & 0 & 7 . O nosso objetivo aqui é encontrar o polinômio característico dessa matriz e, a partir dele, determinar os autovalores de A . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes e autovalores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que o polinômio característico de uma matriz A é dado por p(lambda) = det(A - lambda I) , onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores.
Passo 3
Vamos calcular A - lambda I . A matriz identidade I para uma matriz 3x3 é:
Como a matriz é triangular inferior (após a terceira linha), o determinante pode ser facilmente calculado multiplicando os elementos da diagonal principal:
det(A - lambda I) = (3 - lambda) times (-5 - lambda) times (7 - lambda)
Passo 5
Vamos expandir esse produto para obter o polinômio característico:
Agora, multiplicamos esse resultado pelo terceiro termo:
(lambda^2 + 2lambda - 15)(7 - lambda) = lambda^2 times 7 + lambda^2 times (-lambda) + 2lambda times 7 + 2lambda times (-lambda) -15 times 7 -15 times (-lambda)
Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação p(lambda) = 0 :
-lambda^3 + 5lambda^2 + 29lambda - 105 = 0
Podemos multiplicar a equação por -1 para facilitar:
lambda^3 - 5lambda^2 - 29lambda + 105 = 0
Vamos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Os possíveis candidatos são os divisores de 105, ou seja, lambda = pm1, pm3, pm5, pm7, pm15, pm21, pm35, pm105 .