Considere a matriz A=[rrr3 & 4 & 1 -3 & -5 & 2 0 & 0 & 7].
Calcule o polinômio característico e autovalores de A.

Passo 1

Então, temos uma matriz quadrada A = 3 & 4 & 1 -3 & -5 & 2 0 & 0 & 7 . O nosso objetivo aqui é encontrar o polinômio característico dessa matriz e, a partir dele, determinar os autovalores de A . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes e autovalores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que o polinômio característico de uma matriz A é dado por p(lambda) = det(A - lambda I) , onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores.

Passo 3

Vamos calcular A - lambda I . A matriz identidade I para uma matriz 3x3 é:
I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Então,
A - lambda I = 3 - lambda & 4 & 1 -3 & -5 - lambda & 2 0 & 0 & 7 - lambda

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz A - lambda I :
det(A - lambda I) = 3 - lambda & 4 & 1 -3 & -5 - lambda & 2 0 & 0 & 7 - lambda
Como a matriz é triangular inferior (após a terceira linha), o determinante pode ser facilmente calculado multiplicando os elementos da diagonal principal:
det(A - lambda I) = (3 - lambda) times (-5 - lambda) times (7 - lambda)

Passo 5

Vamos expandir esse produto para obter o polinômio característico:
p(lambda) = (3 - lambda)(-5 - lambda)(7 - lambda)
Primeiro, multiplicamos os dois primeiros termos:
(3 - lambda)(-5 - lambda) = -15 - 3lambda + 5lambda + lambda^2 = lambda^2 + 2lambda - 15
Agora, multiplicamos esse resultado pelo terceiro termo:
(lambda^2 + 2lambda - 15)(7 - lambda) = lambda^2 times 7 + lambda^2 times (-lambda) + 2lambda times 7 + 2lambda times (-lambda) -15 times 7 -15 times (-lambda)
= 7lambda^2 - lambda^3 + 14lambda - 2lambda^2 - 105 + 15lambda
Agora, juntamos os termos semelhantes:
-lambda^3 + (7lambda^2 - 2lambda^2) + (14lambda + 15lambda) - 105 = -lambda^3 + 5lambda^2 + 29lambda - 105

Passo 6

Então, o polinômio característico da matriz A é:
p(lambda) = -lambda^3 + 5lambda^2 + 29lambda - 105

Passo 7

Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação p(lambda) = 0 :
-lambda^3 + 5lambda^2 + 29lambda - 105 = 0
Podemos multiplicar a equação por -1 para facilitar:
lambda^3 - 5lambda^2 - 29lambda + 105 = 0
Vamos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Os possíveis candidatos são os divisores de 105, ou seja, lambda = pm1, pm3, pm5, pm7, pm15, pm21, pm35, pm105 .
Testando lambda = 3 :
3^3 - 5 times 3^2 - 29 times 3 + 105 = 27 - 45 - 87 + 105 = 0
Então, lambda = 3 é uma raiz.

Passo 8

Agora, vamos fatorar a equação usando lambda = 3 :
lambda^3 - 5lambda^2 - 29lambda + 105 = (lambda - 3)(lambda^2 - 2lambda - 35)
Resolvendo a equação quadrática lambda^2 - 2lambda - 35 = 0 com a fórmula de Bhaskara:
lambda = 2 pm raiz4 + 1402 = 2 pm raiz1442 = 2 pm 122
Isso dá:
lambda = 142 = 7 e lambda = -102 = -5

Resposta

Os autovalores da matriz A são lambda = 3 , lambda = 7 e lambda = -5 .

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