Considere a matriz .
Existe alguma matriz que não seja diagonalizável, mas que tenha o mesmo polinômio característico de A ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma matriz A = 3 & 4 & 1 -3 & -5 & 2 0 & 0 & 7 e pergunta se existe alguma matriz que não seja diagonalizável, mas que possua o mesmo polinômio característico de A . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre polinômios característicos e diagonalização de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o polinômio característico de uma matriz é encontrado calculando o determinante de A - lambda I , onde I é a matriz identidade e lambda é um número escalar (autovalor). No nosso caso, como A é uma matriz triangular (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o polinômio característico é simplesmente o produto dos elementos da diagonal menos lambda . Assim:
Polinômio característico de A = (3 - lambda)(-5 - lambda)(7 - lambda) ôí
Passo 3
Agora, vamos analisar os autovalores de A , que são as raízes do polinômio característico. Observando a expressão:
(3 - lambda)(-5 - lambda)(7 - lambda) = 0
Temos que os autovalores são lambda1 = 3 , lambda2 = -5 e lambda3 = 7 . Todos esses valores são diferentes entre si, ou seja, temos autovalores distintos.
Passo 4
Uma propriedade importante da diagonalização é que se uma matriz possui autovalores distintos, ela é sempre diagonalizável. Isso significa que podemos encontrar uma matriz diagonal D e uma matriz inversível P tal que A = P D P^-1 .
Passo 5
Agora, a questão quer saber se existe uma matriz que não é diagonalizável, mas que tem o mesmo polinômio característico de A . Vamos pensar: se uma matriz tem o mesmo polinômio característico de A , então seus autovalores também são 3 , -5 e 7 , todos distintos.
Passo 6
Mas como vimos, qualquer matriz com autovalores distintos é sempre diagonalizável. Portanto, não existe uma matriz com o mesmo polinômio característico de A que não seja diagonalizável, já que a distinção dos autovalores garante a diagonalização.
Resposta
Não, não existe nenhuma matriz que não seja diagonalizável e que possua o mesmo polinômio característico da matriz A .