Sejam V um espaço vetorial sobre K de dimensão finita e T in L(V, V). Seja alpha in K e vamos supor que existe u neq 0 em V tal que T(u)=alpha u. Demonstre que existe um funcional linear não nulo f sobre V tal que T^*(f)=alpha f.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial V de dimensão finita sobre um corpo K e uma transformação linear T: V to V . Sabemos que existe um vetor não nulo u em V tal que T(u) = alpha u , onde alpha é um escalar em K . A tarefa é mostrar que existe um funcional linear não nulo f em V^* (o espaço dual de V ) tal que T^*(f) = alpha f .
Para resolver isso, vamos precisar entender:
  • Espaço Dual ( V^* ): Conjunto de todos os funcionais lineares em V .
  • Transformação Dual ( T^* ): A transformação que age nos funcionais lineares de V^* .
  • Autovalores e Autovetores: Propriedades relacionadas a como uma transformação linear age em vetores e funcionais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformação dual T^* . Para qualquer funcional linear f em V^* , a transformação dual T^* é definida por:
T^*(f) = f circ T
Isso significa que T^*(f) é um novo funcional que, para qualquer vetor v em V , avalia f no vetor T(v) :
T^*(f)(v) = f(T(v))

Passo 3

Agora, como queremos que T^*(f) = alpha f , vamos escrever essa igualdade de forma mais explícita:
f(T(v)) = alpha f(v) forall v in V
Isso significa que, para todo vetor em V , aplicar T e depois f é o mesmo que multiplicar o resultado de f(v) por alpha .

Passo 4

Sabemos que T(u) = alpha u para algum vetor não nulo u em V . Vamos usar isso para construir nosso funcional f . Queremos que f(u) neq 0 para garantir que f não é o funcional nulo.
Para isso, podemos definir f de forma que:
f(u) = 1
E para os demais vetores, f pode ser definido de maneira que seja linearmente consistente com essa definição. Como V é de dimensão finita, podemos estender essa definição para todo V usando a base que inclui u .

Passo 5

Vamos verificar se essa definição de f satisfaz T^*(f) = alpha f . Para qualquer vetor v em V :
T^*(f)(v) = f(T(v)) = f(alpha v) = alpha f(v)
Aqui usamos a linearidade de f :
f(alpha v) = alpha f(v)
Portanto, T^*(f) = alpha f de fato.

Passo 6

Concluímos que existe um funcional linear não nulo f em V^* tal que T^*(f) = alpha f , sendo f definido de forma que f(u) = 1 e estendido linearmente a todo V .

Resposta

Existe um funcional linear não nulo f em V^* tal que T^*(f) = alpha f , satisfazendo a condição requerida.

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