Sejam
um espaço vetorial sobre
de dimensão finita e
. Seja
e vamos supor que existe
em
tal que
. Demonstre que existe um funcional linear não nulo
sobre
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial
de dimensão finita sobre um corpo
e uma transformação linear
. Sabemos que existe um vetor não nulo
em
tal que
, onde
é um escalar em
. A tarefa é mostrar que existe um funcional linear não nulo
em
(o espaço dual de
) tal que
.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
- Espaço Dual (
): Conjunto de todos os funcionais lineares em . - Transformação Dual (
): A transformação que age nos funcionais lineares de . - Autovalores e Autovetores: Propriedades relacionadas a como uma transformação linear age em vetores e funcionais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformação dual
. Para qualquer funcional linear
em
, a transformação dual
é definida por:
Isso significa que
é um novo funcional que, para qualquer vetor
em
, avalia
no vetor
:
Passo 3
Agora, como queremos que
, vamos escrever essa igualdade de forma mais explícita:
Isso significa que, para todo vetor em
, aplicar
e depois
é o mesmo que multiplicar o resultado de
por
.
Passo 4
Sabemos que
para algum vetor não nulo
em
. Vamos usar isso para construir nosso funcional
. Queremos que
para garantir que
não é o funcional nulo.
Para isso, podemos definir
de forma que:
E para os demais vetores,
pode ser definido de maneira que seja linearmente consistente com essa definição. Como
é de dimensão finita, podemos estender essa definição para todo
usando a base que inclui
.
Passo 5
Vamos verificar se essa definição de
satisfaz
. Para qualquer vetor
em
:
Aqui usamos a linearidade de
:
Portanto,
de fato.
Passo 6
Concluímos que existe um funcional linear não nulo
em
tal que
, sendo
definido de forma que
e estendido linearmente a todo
.
Resposta
Existe um funcional linear não nulo
em
tal que
, satisfazendo a condição requerida.