Seja V um espaço vetorial sobre K de dimensão finita e seja Phi a aplicação de L(V, V) em L(V^*, V^*) dada por Phi(T)=T^*. Mostre que Phi é um isomorfismo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um espaço vetorial V de dimensão finita sobre um campo K . Temos uma aplicação Phi que vai de L(V, V) para L(V^*, V^*) , onde L(V, V) é o conjunto de todas as transformações lineares de V para ele mesmo, e V^* é o espaço dual de V (ou seja, o conjunto de todas as aplicações lineares de V para K ). A aplicação Phi é definida por Phi(T) = T^* , onde T^* é a transformação dual de T .
Nosso objetivo é mostrar que Phi é um isomorfismo, ou seja, que Phi é uma aplicação linear bijetora (injetora e sobrejetora).

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa Phi ser uma aplicação linear. Uma aplicação Phi é linear se, para quaisquer transformações lineares T1, T2 in L(V, V) e quaisquer escalares a, b in K , temos:
Phi(aT1 + bT2) = aPhi(T1) + bPhi(T2)
Vamos verificar isso para nossa Phi :
Phi(aT1 + bT2) = (aT1 + bT2)^*
Sabemos que a transformação dual preserva a combinação linear, então:
(aT1 + bT2)^* = aT1^* + bT2^* = aPhi(T1) + bPhi(T2)
Portanto, Phi é linear.

Passo 3

Agora, vamos mostrar que Phi é injetora. Uma aplicação é injetora se, sempre que Phi(T1) = Phi(T2) , então T1 = T2 .
Suponha que Phi(T1) = Phi(T2) . Isso implica que:
T1^* = T2^*
A transformação dual é injectiva em espaços de dimensão finita, o que significa que se T1^* = T2^* , então T1 = T2 . Portanto, Phi é injetora.

Passo 4

Em seguida, vamos provar que Phi é sobrejetora. Uma aplicação é sobrejetora se, para todo elemento S in L(V^*, V^*) , existe um T in L(V, V) tal que Phi(T) = S .
Sabendo que V é de dimensão finita, a transformação dual Phi é não apenas injetora, mas também sobrejetora. Isso ocorre porque, em dimensões finitas, a dualização é uma operação invertível. Portanto, para qualquer S in L(V^*, V^*) , existe um T in L(V, V) tal que T^* = S .
Assim, Phi é sobrejetora.

Passo 5

Como Phi é linear, injetora e sobrejetora, concluímos que Phi é um isomorfismo entre L(V, V) e L(V^*, V^*) .

Resposta

A aplicação Phi é um isomorfismo.

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