Seja
um espaço vetorial sobre
de dimensão finita e seja
a aplicação de
em
dada por
. Mostre que
é um isomorfismo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um espaço vetorial
de dimensão finita sobre um campo
. Temos uma aplicação
que vai de
para
, onde
é o conjunto de todas as transformações lineares de
para ele mesmo, e
é o espaço dual de
(ou seja, o conjunto de todas as aplicações lineares de
para
). A aplicação
é definida por
, onde
é a transformação dual de
.
Nosso objetivo é mostrar que
é um isomorfismo, ou seja, que
é uma aplicação linear bijetora (injetora e sobrejetora).
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa
ser uma aplicação linear. Uma aplicação
é linear se, para quaisquer transformações lineares
e quaisquer escalares
, temos:
Vamos verificar isso para nossa
:
Sabemos que a transformação dual preserva a combinação linear, então:
Portanto,
é linear.
Passo 3
Agora, vamos mostrar que
é injetora. Uma aplicação é injetora se, sempre que
, então
.
Suponha que
. Isso implica que:
A transformação dual é injectiva em espaços de dimensão finita, o que significa que se
, então
. Portanto,
é injetora.
Passo 4
Em seguida, vamos provar que
é sobrejetora. Uma aplicação é sobrejetora se, para todo elemento
, existe um
tal que
.
Sabendo que
é de dimensão finita, a transformação dual
é não apenas injetora, mas também sobrejetora. Isso ocorre porque, em dimensões finitas, a dualização é uma operação invertível. Portanto, para qualquer
, existe um
tal que
.
Assim,
é sobrejetora.
Passo 5
Como
é linear, injetora e sobrejetora, concluímos que
é um isomorfismo entre
e
.
Resposta
A aplicação
é um isomorfismo.