Considere a matriz A=[rrr3 & 4 & 1 -3 & -5 & 2 0 & 0 & 7].
Exiba uma base de R^3 formada por autovetores de A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz A = 3 & 4 & 1 -3 & -5 & 2 0 & 0 & 7 e precisamos encontrar uma base de R^3 formada por autovetores dessa matriz. Isso está no campo da Álgebra Linear, mais especificamente em autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar calcular os autovalores de A e, em seguida, encontrar os respectivos autovetores para cada autovalor.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de A . Os autovalores são os valores de lambda que satisfazem a equação característica det(A - lambda I) = 0 , onde I é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I :
A - lambda I = 3 - lambda & 4 & 1 -3 & -5 - lambda & 2 0 & 0 & 7 - lambda

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (3 - lambda)[ (-5 - lambda)(7 - lambda) - 2 cdot 0 ] - 4 [ -3(7 - lambda) - 2 cdot 0 ] + 1 [ -3 cdot 0 - (-5 - lambda) cdot 0 ]
Simplificando:
det(A - lambda I) = (3 - lambda)(-5 - lambda)(7 - lambda) + 12(7 - lambda)

Passo 5

Vamos resolver a equação característica det(A - lambda I) = 0 :
(3 - lambda)(-5 - lambda)(7 - lambda) + 12(7 - lambda) = 0
Podemos fatorar (7 - lambda) :
(7 - lambda)[(3 - lambda)(-5 - lambda) + 12] = 0
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. 7 - lambda = 0 lambda = 7
  2. (3 - lambda)(-5 - lambda) + 12 = 0

Passo 6

Vamos resolver a segunda possibilidade:
(3 - lambda)(-5 - lambda) + 12 = 0 ( -15 - 3lambda + 5lambda + lambda^2 ) + 12 = 0 lambda^2 + 2lambda - 3 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
lambda = -2 pm raiz4 + 122 = -2 pm raiz162 = -2 pm 42
Então, lambda = 1 ou lambda = -3 .

Passo 7

Agora temos os autovalores: lambda1 = 7 , lambda2 = 1 e lambda3 = -3 .

Passo 8

Vamos encontrar os autovetores para cada autovalor.
Para lambda = 7 :
Resolvemos (A - 7I)v = 0 :
-4 & 4 & 1 -3 & -12 & 2 0 & 0 & 0
Isso leva ao sistema:
-4x + 4y + z = 0 -3x - 12y + 2z = 0
Podemos expressar z em termos de x e y, e escolher valores livres para x e y. Após simplificação, encontramos um autovetor correspondente.
Para lambda = 1 :
Resolvemos (A - I)v = 0 :
2 & 4 & 1 -3 & -6 & 2 0 & 0 & 6
Isso leva ao sistema:
2x + 4y + z = 0 -3x - 6y + 2z = 0 6z = 0
Da terceira equação, z = 0 . Substituindo nas primeiras, encontramos um autovetor.
Para lambda = -3 :
Resolvemos (A + 3I)v = 0 :
6 & 4 & 1 -3 & -2 & 2 0 & 0 & 10
Isso leva ao sistema:
6x + 4y + z = 0 -3x - 2y + 2z = 0 10z = 0
Da terceira equação, z = 0 . Substituindo nas primeiras, encontramos outro autovetor.

Passo 9

Após resolver os sistemas acima, encontramos os seguintes autovetores:
  • Para lambda = 7 :
v1 = 1 1 0
  • Para lambda = 1 :
v2 = -2 1 0
  • Para lambda = -3 :
v3 = -2 3 0

Resposta

Uma base de R^3 formada por autovetores de A é:
1 1 0 , -2 1 0 , -2 3 0

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