Considere a matriz canônica de uma transformação linear T, use a matriz para obter T(x) :
[T]=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado diz que temos uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 cuja matriz em relação à base canônica é
[T]=\begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{pmatrix}.
Queremos usar essa matriz para encontrar T(x), isto é, expressar T agindo num vetor genérico x=(x_1,x_2)^T.

Passo 2

Para aplicar T a um vetor x=\bigl(x_1,x_2\bigr)^T, multiplicamos a matriz \left[T\right] pelo vetor coluna:
T\!\bigl(\begin{pmatrix}x_1\x_2\end{pmatrix}\bigr) =\begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\cdot x_1 + 2\cdot x_2 \\[6pt] 3\cdot x_1 + 4\cdot x_2\end{pmatrix}.]

Passo 3

Assim, a imagem de um vetor genérico x=(x_1,x_2) pela transformação T é
T(x) =\begin{pmatrix}x_1 + 2\,x_2 \\[4pt]3\,x_1 + 4\,x_2\end{pmatrix}.]

Resposta

\displaystyle T(x)=\begin{pmatrix}x_1+2x_2\\\ 3x_1+4x_2\end{pmatrix}

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