Considere a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} definida por:
T(x, y, z)=(x-3 y-2 z, y-4 z, z) .
Verifique se T é um isomorfismo (automorfismo de \mathbb{R}^{3} ).

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear T\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z) = (\,x - 3y - 2z,\;y - 4z,\;z\,).
Para verificar se T é um isomorfismo (isto é, bijetora e inversível), basta mostrar que sua matriz na base canônica é inversível, o que ocorre se e somente se seu determinante for diferente de zero.

Passo 2

Na base canônica \{e_1,e_2,e_3\}, temos
T(e_1) = (1,0,0),\quad T(e_2) = (-3,1,0),\quad T(e_3) = (-2,-4,1).
Logo a matriz de T é
A = \begin{pmatrix} 1 & -3 & -2\\\\ 0 & 1 & -4\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

A matriz A é triangular superior, então
\det(A) = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 \neq 0.
Como \det(A)\neq0, a matriz é invertível e, portanto, T é bijetora e possui inversa linear.

Resposta

T é um isomorfismo de \mathbb{R}^3.

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