Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear dada por:
T(x, y, z)=(x-3 y-2 z, y-4 z, z) .
Determine a expressão do isomorfismo inverso T^{-1}.

Passo 1

O enunciado fornece a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3},\quad T(x,y,z)=(x-3y-2z,\;y-4z,\;z)
e pede o isomorfismo inverso T^{-1}. Para isso, vamos introduzir um vetor genérico (u,v,w)=T(x,y,z) e resolver o sistema linear para (x,y,z) em função de (u,v,w).

Passo 2

Seja (u,v,w)=T(x,y,z)\). Isso nos dá o sistema \[\begin{cases} u = x - 3y - 2z,\\\ v = y - 4z,\\\ w = z. \end{cases}
Nos próximos passos, vamos isolar x\], \(y e z em termos de u, v e w.

Passo 3

Da terceira equação segue imediatamente
z = w.
Substituindo z=w na segunda equação v = y - 4z, obtemos
y = v + 4w.

Passo 4

Agora substituímos y=v+4w e z=w na primeira equação u = x - 3y - 2z. Logo,
x = u + 3y + 2z = u + 3(v+4w) + 2w = u + 3v + 12w + 2w = u + 3v + 14w.

Passo 5

Portanto, o inverso T^{-1} que leva (u,v,w) de volta a (x,y,z) é dado por
T^{-1}(u,v,w) = (\,u + 3v + 14w,\;v + 4w,\;w\,).

Resposta

T^{-1}(u,v,w) = (u + 3v + 14w,\;v + 4w,\;w).

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