Considere a matriz canônica de uma transformação linear T, use a matriz para obter T(x) :
[T]=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 0 \\\\ 3 & 1 & 5\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz canônica de uma transformação linear T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2:
[T] = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\[6pt] 3 & 1 & 5 \end{pmatrix}
e pede para encontrar a expressão de T(x). O conteúdo aqui é multiplicação de matriz por vetor.]

Passo 2

Denotemos um vetor genérico de \mathbb{R}^3 por
x = \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix}.
Pela definição de transformação linear em coordenadas canônicas, temos
T(x) \;=\; [T] \,x.

Passo 3

Fazendo a multiplicação de matrizes, obtemos os componentes de T(x):
T(x) = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\[4pt] 3 & 1 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \cdot x_1 + 2 \cdot x_2 + 0 \cdot x_3 \\[4pt] 3 \cdot x_1 + 1 \cdot x_2 + 5 \cdot x_3 \end{pmatrix}.]

Resposta

T\bigl(x_1,x_2,x_3\bigr) = \begin{pmatrix} -\,x_1 + 2\,x_2 \\[4pt] 3\,x_1 + x_2 + 5\,x_3 \end{pmatrix}.]

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