Considere a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4} definida por:
T(x, y, z)=(x, x-y, y-z, z) .
Explique por que T não é um isomorfismo.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^4, \quad T(x,y,z) = (x,\;x - y,\;y - z,\;z),
e pede para explicar por que T não é um isomorfismo. O conteúdo envolvido é teoria de transformações lineares, isomorfismo (que exige bijeção) e o Teorema do Núcleo e Imagem (posto-nulidade).

Passo 2

Para ser isomorfismo, T precisa ser injetora e sobrejetora. Vamos verificar primeiro a injetividade, calculando o núcleo. Se
T(x,y,z) = (0,0,0,0),
então das componentes obtemos as equações
x = 0,\quad x - y = 0,\quad y - z = 0,\quad z = 0.
Da primeira vem x=0. Da segunda, como x=0, segue y=0. Da terceira, com y=0, segue z=0. Logo
\ker(T) = \{(0,0,0)\},
ou seja, \dim(\ker(T))=0. Concluímos que T é injetora.

Passo 3

Pelo Teorema do Núcleo e Imagem (posto-nulidade) num espaço de dimensão 3 vale
\dim(\ker(T)) + \dim(\mathrm{Im}(T)) = 3.
Como \dim(\ker(T))=0, temos \dim(\mathrm{Im}(T))=3. Mas o contradomínio \mathbb{R}^4 tem dimensão 4, logo \mathrm{Im}(T) é um subespaço próprio de dimensão 3 em \mathbb{R}^4. Logo T não é sobrejetora.

Resposta

T não é isomorfismo porque, embora seja injetora, não é sobrejetora (posto 3<4).

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