Considere a transformação linear
definida por:
Explique por que
não é um isomorfismo.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
e pede para explicar por que
não é um isomorfismo. O conteúdo envolvido é teoria de transformações lineares, isomorfismo (que exige bijeção) e o Teorema do Núcleo e Imagem (posto-nulidade).
Passo 2
Para ser isomorfismo,
precisa ser injetora e sobrejetora. Vamos verificar primeiro a injetividade, calculando o núcleo. Se
então das componentes obtemos as equações
Da primeira vem
. Da segunda, como
, segue
. Da terceira, com
, segue
. Logo
ou seja,
. Concluímos que
é injetora.
Passo 3
Pelo Teorema do Núcleo e Imagem (posto-nulidade) num espaço de dimensão 3 vale
Como
, temos
. Mas o contradomínio
tem dimensão 4, logo
é um subespaço próprio de dimensão 3 em
. Logo
não é sobrejetora.