Considere a matriz canônica de uma transformação linear T, use a matriz para obter T(x) :
[T]=\left[\begin{array}{ccc}-2 & 1 & 4 \\\\ 3 & 5 & 7 \\\\ 6 & 0 & -1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz canônica de uma transformação linear T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3:
[T] \;=\;\begin{pmatrix} -2 & 1 & 4\\\\ 3 & 5 & 7\\\\ 6 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
Queremos encontrar T(x) para um vetor genérico x=(x_{1},x_{2},x_{3}).

Passo 2

Pela definição de multiplicação de matriz por vetor, cada componente de T(x) é o produto escalar da linha correspondente de [T] com o vetor x. Formalmente,
[T(x)]_{i}=\sum_{j=1}^{3}T_{ij}\,x_{j}, \quad i=1,2,3.

Passo 3

Aplicando essa regra às três linhas de [T] temos
[T(x)]_{1}=-2\,x_{1}+1\,x_{2}+4\,x_{3}, \qquad [T(x)]_{2}=3\,x_{1}+5\,x_{2}+7\,x_{3},
[T(x)]_{3}=6\,x_{1}+0\cdot x_{2}-1\,x_{3}=6\,x_{1}-x_{3}.

Resposta

T(x)=\begin{pmatrix} -2x_{1}+x_{2}+4x_{3}\\\\ 3x_{1}+5x_{2}+7x_{3}\\\\ 6x_{1}-x_{3} \end{pmatrix}.

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