Considere a matriz canônica de uma transformação linear T, use a matriz para obter T(x) : [T]=\left[\begin{array}{ccc}-2 & 1 & 4 \\\\ 3 & 5 & 7 \\\\ 6 & 0 & -1\end{array}\right] Passo 1O enunciado dá a matriz canônica de uma transformação linear T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3: [T] \;=\;\begin{pmatrix} -2 & 1 & 4\\\\ 3 & 5 & 7\\\\ 6 & 0 & -1 \end{pmatrix}. Queremos encontrar T(x) para um vetor genérico x=(x_{1},x_{2},x_{3}). Passo 2Pela definição de multiplicação de matriz por vetor, cada componente de T(x) é o produto escalar da linha correspondente de [T] com o vetor x. Formalmente, [T(x)]_{i}=\sum_{j=1}^{3}T_{ij}\,x_{j}, \quad i=1,2,3. Passo 3Aplicando essa regra às três linhas de [T] temos [T(x)]_{1}=-2\,x_{1}+1\,x_{2}+4\,x_{3}, \qquad [T(x)]_{2}=3\,x_{1}+5\,x_{2}+7\,x_{3}, [T(x)]_{3}=6\,x_{1}+0\cdot x_{2}-1\,x_{3}=6\,x_{1}-x_{3}. Resposta T(x)=\begin{pmatrix} -2x_{1}+x_{2}+4x_{3}\\\\ 3x_{1}+5x_{2}+7x_{3}\\\\ 6x_{1}-x_{3} \end{pmatrix}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosConsidere a matriz canônica de uma transformação linear T, use a matriz para obter T(x) : [T]=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 0 \\\\ 3 & 1 & 5\end{array}\right] Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear dada por: T(x, y, z)=(x-3 y-2 z, y-4 z, z) . Determine a expressão do isomorfismo inverso T^{-1}. Considere a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4} definida por: T(x, y, z)=(x, x-y, y-z, z) . Explique por que T não é um isomorfismo. Considere a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} definida por: T(x, y, z)=x+y+z . Explique por que T não é um isomorfismo.