Considere a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} definida por:
T(x, y, z)=x+y+z .
Explique por que T não é um isomorfismo.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} dada por
T(x,y,z)=x+y+z.
Vamos usar o conceito de isomorfismo de espaços vetoriais, que exige que T seja bijetiva (injetiva e sobrejetiva) e que os espaços tenham a mesma dimensão.
Passo 2
Para verificar injetividade, calculamos o núcleo de T:
\ker T = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid T(x,y,z)=0\} = \{(x,y,z)\mid x+y+z=0\}.
Essa equação admite infinitas soluções não nulas (por exemplo (1,-1,0)), logo \ker T\neq\{0\}.
Passo 3
Como \ker T contém vetores não nulos, T não é injetiva. Embora seja sobrejetiva (dado w\in\mathbb{R}, basta escolher (w,0,0) como pré-imagem), falta-lhe injetividade, ou seja, não é bijetiva.
Passo 4
Além disso, pela dimensão dos espaços, \dim(\mathbb{R}^3)=3 e \dim(\mathbb{R})=1. Um isomorfismo só existe entre espaços de mesma dimensão, o que não ocorre aqui.
Resposta
T não é um isomorfismo porque não é injetiva (seu núcleo não é trivial) e ainda \dim(\mathbb{R}^3)\neq\dim(\mathbb{R}).