Considere A matriz A =[cc-4 & 15 -2 & 7]
em caso afirmativo, use a diagonalizaçao obtida para determinar A^4 (usando o método de diagonalização)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A gente tem a matriz A = -4 & 15 -2 & 7 e queremos encontrar A^4 usando o método de diagonalização. Ou seja, a gente vai transformar a matriz A em uma forma mais simples (matriz diagonal), elevar essa forma à quarta potência e depois voltar para a forma original. Para isso, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores de A , construir a matriz de diagonalização e aplicar a fórmula de potência.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de A . Isso significa resolver o determinante de A - lambda I = 0 , onde I é a matriz identidade e lambda é o autovalor.
A matriz A - lambda I fica:
-4 - lambda & 15 -2 & 7 - lambda
O determinante é:
(-4 - lambda)(7 - lambda) - (15)(-2) = (lambda^2 - 3lambda - 28) + 30 = lambda^2 - 3lambda + 2
Resolvendo a equação lambda^2 - 3lambda + 2 = 0 :
lambda = 3 pm raiz9 - 82 = 3 pm 12
Então, os autovalores são lambda1 = 2 e lambda2 = 1 .

Passo 3

Agora, vamos achar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para lambda1 = 2 :
A - 2I = -6 & 15 -2 & 5
Resolvendo (-6)x + 15y = 0 :
-6x + 15y = 0 Rightarrow 2x = 5y Rightarrow x = 52y
Escolhendo y = 2 , então x = 5 . O autovetor é v1 = 5 2 .
Para lambda2 = 1 :
A - I = -5 & 15 -2 & 6
Resolvendo -5x + 15y = 0 :
-5x + 15y = 0 Rightarrow x = 3y
Escolhendo y = 1 , então x = 3 . O autovetor é v2 = 3 1 .

Passo 4

Agora, vamos montar a matriz de diagonalização P usando os autovetores e a matriz diagonal D com os autovalores:
P = 5 & 3 2 & 1 , D = 2 & 0 0 & 1
A matriz A pode ser escrita como A = PDP^-1 .

Passo 5

Para encontrar A^4 , usamos a propriedade da diagonalização:
A^4 = PD^4P^-1
Primeiro, calculamos D^4 :
D^4 = 2^4 & 0 0 & 1^4 = 16 & 0 0 & 1

Passo 6

Agora, vamos calcular P^-1 . A fórmula para a inversa de uma matriz 2x2 é:
P^-1 = 1det(P) d & -b -c & a
Onde P = a & b c & d .
Calculando o determinante de P :
det(P) = (5)(1) - (3)(2) = 5 - 6 = -1
Então,
P^-1 = 1-1 1 & -3 -2 & 5 = -1 & 3 2 & -5

Passo 7

Agora, multiplicamos P , D^4 e P^-1 :
A^4 = P D^4 P^-1 = 5 & 3 2 & 1 16 & 0 0 & 1 -1 & 3 2 & -5
Primeiro, multiplicamos P e D^4 :
5 & 3 2 & 1 16 & 0 0 & 1 = 5 times 16 + 3 times 0 & 5 times 0 + 3 times 1 2 times 16 + 1 times 0 & 2 times 0 + 1 times 1 = 80 & 3 32 & 1
Agora, multiplicamos o resultado por P^-1 :
80 & 3 32 & 1 -1 & 3 2 & -5 = (80)(-1) + (3)(2) & (80)(3) + (3)(-5) (32)(-1) + (1)(2) & (32)(3) + (1)(-5) = -80 + 6 & 240 - 15 -32 + 2 & 96 - 5 = -74 & 225 -30 & 91

Resposta

Portanto, A^4 = -74 & 225 -30 & 91 .

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