Considere A matriz A =[cc-4 & 15 -2 & 7]
determine Os autovalores de A , em seguida encontre os autoespaços.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma matriz A = -4 & 15 -2 & 7 e precisamos encontrar os seus autovalores e, depois, os autoespaços correspondentes. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de A . Isso envolve resolver a equação característica det(A - lambda I) = 0 , onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores.

Passo 3

Calculando A - lambda I :
A - lambda I = -4 - lambda & 15 -2 & 7 - lambda
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz para formar a equação característica.

Passo 4

O determinante de A - lambda I é:
det(A - lambda I) = (-4 - lambda)(7 - lambda) - (15)(-2)
Simplificando:
(-4 - lambda)(7 - lambda) + 30 = (lambda^2 - 11lambda + 28) + 30 = lambda^2 - 11lambda + 58
Portanto, a equação característica é:
lambda^2 - 11lambda + 58 = 0

Passo 5

Vamos resolver a equação quadrática lambda^2 - 11lambda + 58 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 11 pm raiz(-11)^2 - 4 cdot 1 cdot 582 cdot 1 = 11 pm raiz121 - 2322 = 11 pm raiz-1112
Como o discriminante ( raiz-111 ) é negativo, os autovalores são complexos:
lambda = 112 pm raiz1112i

Passo 6

Agora, vamos encontrar os autoespaços correspondentes a cada autovalor. Para cada lambda , resolvemos (A - lambda I)x = 0 para encontrar os vetores próprios x .
Por exemplo, para lambda = 112 + raiz1112i , substituímos na matriz A - lambda I e resolvemos o sistema para encontrar os vetores x que satisfazem essa equação. O mesmo processo é feito para lambda = 112 - raiz1112i .

Resposta

Os autovalores de A são lambda = 112 pm raiz1112i . Os autoespaços correspondentes são os conjuntos de vetores não nulos que satisfazem (A - lambda I)x = 0 para cada lambda encontrado.

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