Exemplo 1.1 Calcular o produto misto dos vetores u=2 i+3 j+5 k, v=-t+3 j+3 k e w=4 imath-3 jmath+2 k. Eles são coplanares?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o produto misto dos vetores u = 2 i + 3 j + 5 k, v = -i + 3 j + 3 k e w = 4 imath - 3 jmath + 2 k. Além disso, vamos descobrir se esses vetores são coplanares, ou seja, se eles estão no mesmo plano. Para isso, vamos precisar usar a fórmula do produto misto, que envolve determinantes de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto misto. O produto misto de três vetores u, v e w é dado pelo determinante da matriz formada por esses vetores:
u cdot (v times w) = ux & uy & uz vx & vy & vz wx & wy & wz
Se o resultado desse determinante for zero, significa que os vetores são coplanares.

Passo 3

Vamos montar a matriz com os componentes dos vetores:
2 & 3 & 5 -1 & 3 & 3 4 & -3 & 2
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Lembrando que para uma matriz 3x3, o determinante é calculado assim:
2 times 3 & 3 -3 & 2 - 3 times -1 & 3 4 & 2 + 5 times -1 & 3 4 & -3
Vamos calcular cada menor:
  1. Primeiro menor:
3 & 3 -3 & 2 = (3 times 2) - (3 times -3) = 6 + 9 = 15
  1. Segundo menor:
-1 & 3 4 & 2 = (-1 times 2) - (3 times 4) = -2 - 12 = -14
  1. Terceiro menor:
-1 & 3 4 & -3 = (-1 times -3) - (3 times 4) = 3 - 12 = -9
Agora, substituindo de volta:
2 times 15 - 3 times (-14) + 5 times (-9) = 30 + 42 - 45 = 27

Passo 4

O resultado do produto misto foi 27. Como é diferente de zero, isso significa que os vetores não são coplanares, ou seja, eles não estão todos no mesmo plano.

Resposta

O produto misto dos vetores é 27. Como esse valor é diferente de zero, os vetores não são coplanares.

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