Exemplo 1.1 Calcular o produto misto dos vetores . Eles são coplanares?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o produto misto dos vetores , e . Além disso, vamos descobrir se esses vetores são coplanares, ou seja, se eles estão no mesmo plano. Para isso, vamos precisar usar a fórmula do produto misto, que envolve determinantes de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto misto. O produto misto de três vetores , e é dado pelo determinante da matriz formada por esses vetores:
Se o resultado desse determinante for zero, significa que os vetores são coplanares.
Passo 3
Vamos montar a matriz com os componentes dos vetores:
2 & 3 & 5 -1 & 3 & 3 4 & -3 & 2
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Lembrando que para uma matriz 3x3, o determinante é calculado assim:
2 times 3 & 3 -3 & 2 - 3 times -1 & 3 4 & 2 + 5 times -1 & 3 4 & -3
Vamos calcular cada menor:
Primeiro menor:
3 & 3 -3 & 2 = (3 times 2) - (3 times -3) = 6 + 9 = 15
Segundo menor:
-1 & 3 4 & 2 = (-1 times 2) - (3 times 4) = -2 - 12 = -14
Terceiro menor:
-1 & 3 4 & -3 = (-1 times -3) - (3 times 4) = 3 - 12 = -9
Agora, substituindo de volta:
2 times 15 - 3 times (-14) + 5 times (-9) = 30 + 42 - 45 = 27
Passo 4
O resultado do produto misto foi 27. Como é diferente de zero, isso significa que os vetores não são coplanares, ou seja, eles não estão todos no mesmo plano.
Resposta
O produto misto dos vetores é 27. Como esse valor é diferente de zero, os vetores não são coplanares.