Considere a matriz: ^1
A=[cc 4 & -3 2 & 5 ]
a) Verifique se A é invertível calculando o determinante.
b) Calcule A^-1
c) Mostre que A cdot A^-1=I, onde I é a matriz identidade 2 times 2.
  • Anton, H.;Rorres, C. Álgebra Linear com Aplicações. LTC
  • Lay, D.C. Álgebra Linear e Suas Aplicações. Bookman
  • Lajes, Elon. Matemática Universitária. IMPA

  1. ^1 Referenciais

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 4 & -3[6pt]2 & 5
e pede:
a) verificar se A é invertível calculando o determinante;
b) encontrar A^-1;
c) mostrar que A,A^-1=I2.
O conteúdo envolvido é cálculo de determinante de matriz 2times2, fórmula de inversa de matriz 2times2 e multiplicação de matrizes.]

Passo 2

Para matrizes 2times2, o determinante de
A=a & b c & d
é
det(A)=ad - bc
No nosso caso a=4, b=-3, c=2, d=5, logo
det(A) = 4cdot 5 - (-3)cdot 2 = 20 + 6 = 26
Como det(A)=26 neq 0, a matriz A é invertível.

Passo 3

A inversa de
A=a & b c & d
é dada por
A^-1 = 1det(A)d & -b -c & a
Substituindo a=4, b=-3, c=2, d=5 e det(A)=26, obtemos
A^-1 = 126 5 & 3 -2 & 4

Passo 4

Para verificar que A,A^-1=I2, calculamos
A,A^-1 = 4 & -3[4pt]2 & 5 cdot 1265 & 3[4pt]-2 & 4 = 126 4cdot5 + (-3)cdot(-2) & 4cdot3 + (-3)cdot4 [4pt] 2cdot5 + 5cdot(-2) & 2cdot3 + 5cdot4
Dentro da matriz numeradora temos
4cdot5 + (-3)cdot(-2) = 20 + 6 = 26, 4cdot3 + (-3)cdot4 = 12 - 12 = 0,
2cdot5 + 5cdot(-2) = 10 - 10 = 0, 2cdot3 + 5cdot4 = 6 + 20 = 26
Logo
A,A^-1 = 12626 & 0[4pt]0 & 26 = 1 & 0[4pt]0 & 1 = I2 ]

Resposta

a) det(A)=26neq0, logo A é invertível.
b) A^-1=1265 & 3[4pt]-2 & 4
c) A,A^-1=I2.]

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