Matrícula e nome do aluno:
hoprad meneres nomon: 20241023 % ols

Observaçōes:

  • Responder cada questão passo a passo, mostrando todos os raciocínios que levam à resposta.
  • A solução deve ser clara c cocrente, mostrando domínio das fórmulas que estão scndo usadas.
  • Não colocar respostas sem justificativas ou procedimentos que nào correspondam à resposta.
    Questāo 2. Considerar T: R^3 R^3 ein que T(x, y, z)=(x+2 z,-x+z, x+y+2 z)
    (a) Achar os autovalores e autovetores correspondentes do operador T.

Passo 1

O enunciado nos dá o operador linear TcolonR^3toR^3 definido por
T(x,y,z) = (,x + 2z,;-x + z,;x + y + 2z,)
Queremos encontrar os autovalores lambda e, para cada um, os autovetores não-nulos v tais que
T(v) = lambda v
Para isso, vamos:
  1. Escrever a matriz A de T na base canônica.
  2. Resolver det(A - lambda I)=0 para obter os autovalores.
  3. Para cada lambda, resolver (A - lambda I)v=0 para achar os autovetores.

Passo 2

As colunas de A são T(e1), T(e2) e T(e3). Calculando:
T(1,0,0) = (1,-1,1), T(0,1,0) = (0,0,1), T(0,0,1) = (2,1,2)
Logo,
A = 1 & 0 & 2 -1 & 0 & 1 1 & 1 & 2

Passo 3

O polinômio característico é
det(A - lambda I) = det 1-lambda & 0 & 2 -1 & -lambda & 1 1 & 1 & 2-lambda
Expandindo pela primeira linha:
(1-lambda)l(-lambda(2-lambda)-1r) +2l((-1)cdot1 -(-lambda)cdot1r)
Isso dá
(1-lambda)(lambda^2 -2lambda -1) +2(lambda -1) = -lambda^3 +3lambda^2 +lambda -3
Multiplicando por -1,
lambda^3 -3lambda^2 -lambda +3 =0
Fatorando por agrupamento,
(lambda -3)(lambda^2 -1) =0 Longrightarrow lambda = 3,;1,;-1

Passo 4

Para
Da primeira equação vem . Portanto
então um autovetor para é .

Passo 5

Para
Da primeira equação vem . Logo
e um autovetor para é .

Passo 6

Para
Da primeira equação vem . A terceira se confirma. Assim
e um autovetor para é .

Resposta

Os autovalores e autovetores de T são:
lambda1 &= 3, &v1 &= (1,0,1), lambda2 &= 1, &v2 &= (-1,1,0), lambda3 &= -1,&v3 &= (-1,-2,1)

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