Matrícula e nome do aluno:
hoprad meneres nomon: ols
Observaçōes:
Responder cada questão passo a passo, mostrando todos os raciocínios que levam à resposta.
A solução deve ser clara c cocrente, mostrando domínio das fórmulas que estão scndo usadas.
Não colocar respostas sem justificativas ou procedimentos que nào correspondam à resposta.
Questāo 2. Considerar ein que
(b) é diagonalizável? Justifique!
Passo 1
O enunciado pede para analisar se a transformação linear
é diagonalizável.
Conteúdo aplicado: representação matricial em base canônica, polinômio característico, valores próprios e critério de diagonalizabilidade via multiplicidade dos autovalores.
Passo 2
Vamos obter a matriz de na base canônica .
Para temos
Logo a matriz é
Passo 3
Calculamos o polinômio característico chiA(lambda)=det(A - lambda I).
A - lambda I = 1-lambda & 0 & 2 -1 & -lambda & 1 1 & 1 & 2-lambda
E fatorando lambda^2-2lambda-3=(lambda-3)(lambda+1), temos
chiA(lambda)=(1-lambda)(lambda-3)(lambda+1)
Passo 4
Os autovalores são as raízes de chiA(lambda)=0, a saber
lambda1=1, lambda2=3, lambda3=-1
Note que são três valores distintos.
Passo 5
Em um espaço de dimensão 3, se um operador linear tem três autovalores distintos, então seu polinômio minimal é produto de três fatores lineares distintos e a soma das dimensões dos autoespaços é 3. Portanto existe uma base de R^3 formada por autovetores de T, e T é diagonalizável.
Resposta
Sim. T é diagonalizável pois a matriz associada tem três autovalores distintos 1,3,-1, o que garante que o espaço admite uma base formada por autovetores de T.