Considere a matriz
A=[ccc 3 & 0 & -1 0 & -2 & 0 5 & 0 & 2 ]
Em cada parte calcule a matriz pedida.
(b) A^-3

Passo 1

O enunciado pede para calcular ,A^-3 da matriz
A= 3 & 0 & -1 0 & -2 & 0 5 & 0 & 2
O conteúdo principal é usar propriedades de matrizes em bloco para inverter e depois elevar à potência. Vamos precisar de:
– inversão de bloco 2times2 e de escalar;
– cálculo de potências de matrizes em bloco e de escalares.

Passo 2

Observe que A é “block-diagonal” no sentido de que as linhas e colunas 1 e 3 formam um bloco
B=3 & -15 & 2,
enquanto a coordenada 2 é apenas o escalar -2. Logo,
A^-1= B^-1 & 0 0 & (-2)^-1

Passo 3

Calculemos B^-1. O determinante é
det B = 3cdot2 - (-1)cdot5 = 6 + 5 = 11
Pela fórmula de inversa de 2times2,
B^-1 = 111 2 & 1 -5 & 3

Passo 4

O escalar -2 tem inversa
(-2)^-1 = -tfrac12
Portanto
A^-1 = 1112 & 1-5 & 3 & ;0[6pt] 0 & -tfrac12 = 211 & 0 & 111 0 & -12 & 0 -511 & 0 & 311 ]

Passo 5

Como A^-3 = (A^-1)^3, basta elevar em bloco:
  • o bloco B^-1 será elevado à 3ª potência,
  • o escalar -tfrac12 será elevado à 3ª potência.
Para o escalar:
l(-tfrac12r)^3 = -tfrac18

Passo 6

Escrevemos
B^-1 = 111N, N=2 & 1-5 & 3
Calculemos N^2 e N^3:
N^2 = 2&1-5&3 2&1-5&3 = -1 & 5 -25 & 4 ,
N^3 = N^2,N = -1 & 5 -25 & 4 2 & 1 -5 & 3 = -27 & 14 -70 & -13
Logo
(B^-1)^3 = 111^3N^3 = 11331 -27 & 14 -70 & -13

Passo 7

Recolocando no formato de A^-3, o bloco em (1,3) é (B^-1)^3 e a posição (2,2) é -tfrac18. Assim,
A^-3 = -tfrac271331 & 0 & tfrac141331[4pt] 0 & -tfrac18 & 0[4pt] -tfrac701331 & 0 & -tfrac131331 ]

Resposta

A^-3 = -tfrac271331 & 0 & tfrac141331 0 & -tfrac18 & 0 -tfrac701331 & 0 & -tfrac131331

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