Considere a matriz . Encontre a solução geral de cada um dos sistemas:
A X=X
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: “Dada a matriz
A=0&0&-21&2&11&0&3,
encontre todas as soluções do sistema A X = X.”
Conteúdo: Autovalores e autovetores (ou espaço nulo).
O que precisamos: reescrever A X = X como (A - I)X = 0 e resolver esse sistema homogêneo por eliminação de Gauss.
Passo 2
Primeiro, calculemos A - I, onde
I=1&0&00&1&00&0&1
Então
A - I =0&0&-21&2&11&0&3 -1&0&00&1&00&0&1 =-1&0&-21&1&11&0&2
Passo 3
Agora montamos o sistema (A - I)X = 0. Se X=(x,y,z)^T, dá:
-1cdot x ;+;0cdot y ;-;2cdot z = 0, 1cdot x ;+;1cdot y ;+;1cdot z = 0, 1cdot x ;+;0cdot y ;+;2cdot z = 0
Passo 4
Vamos usar eliminação de Gauss passo a passo:
Equações:
(1) -x - 2z = 0
(2) x + y + z = 0
(3) x + 2z = 0
Da (1) já tiramos
x = -2z
Substituindo em (2):
(-2z) + y + z = 0 Longrightarrow y - z = 0 Longrightarrow y = z
A equação (3) é a mesma da (1) reescrita (fica redundante), então não traz mais informação.
Passo 5
Concluímos que a única “liberdade” é escolher z. Seja t = z. Então
x = -2t, y = t, z = t
Logo o espaço de soluções é gerado por um único vetor.