Verdadeiro ou Falso? Se for verdadeiro, demonstre. Se for falso, justifique.
(a) Todo sistema linear homogêneo possui pelo menos uma solução.
(b) Todo sistema linear com incógnitas e equações é consistente.
(c) Todo sistema linear com mais incógnitas do que equações possui infinitas soluções.
(d) Todo sistema linear com mais equações do que incógnitas é inconsistente.
(e) Um sistema linear com incógnitas e equações possui sempre solução única, a não ser que uma equação seja um múltiplo de outra.
(f) Todo sistema linear homogêneo com mais incógnitas do que equações possui infinitas soluções.
Passo 1
O exercício pede pra julgar Verdadeiro ou Falso 6 afirmações ((a)–(f)) sobre sistemas lineares.
Conteúdo:
• Sistemas homogêneos vs não homogêneos
• Consistência (tem solução?)
• Relação número de equações vs incógnitas (pivôs e variáveis livres)
O que vamos precisar:
Saber que sistema homogêneo tem sempre a “solução trivial” .
Entender que “consistente” significa ter pelo menos uma solução.
Se há mais incógnitas que equações e o sistema for consistente, surgem variáveis livres e, portanto, infinitas soluções.
Exemplos para mostrar sistemas inconsistentes.
Passo 2
(a) “Todo sistema linear homogêneo possui pelo menos uma solução.”
Teoria: um sistema homogêneo é da forma
Se você substituir , sempre satisfaz a equação, porque .
Logo, sempre existe pelo menos essa “solução trivial”.
Conclusão: Verdadeiro.
Passo 3
(b) “Todo sistema linear com [n) incógnitas e equações é consistente.”
Nem sempre. Exemplo com 2 incógnitas e 2 equações:
Aqui a segunda é (2(x+y)=2\ne3], logo não há solução que satisfaça as duas ao mesmo tempo.
Conclusão: Falso.
Passo 4
(c) “Todo sistema linear com mais incógnitas do que equações possui infinitas soluções.”
Pode até ter mais incógnitas, mas ainda assim ser inconsistente. Exemplo com 3 incógnitas e 2 equações:
x+y+z=1, x+y+z=2
Essas duas linhas se contradizem, não há solução alguma, muito menos infinitas.
Conclusão: Falso.
Passo 5
(d) “Todo sistema linear com mais equações do que incógnitas é inconsistente.”
Também não é regra. Por exemplo, 3 equações e 2 incógnitas:
x+y=1, 2x+2y=2, 3x+3y=3
As 2ª e 3ª são múltiplos da 1ª, todas coincidem, então o sistema é consistente e tem infinitas soluções (basta x=t, y=1-t).
Conclusão: Falso.
Passo 6
(e) “Um sistema linear com n incógnitas e n equações possui sempre solução única, a não ser que uma equação seja um múltiplo de outra.”
Para ter solução única é preciso que a matriz de coeficientes seja invertível (determinante neq0), ou seja, as equações são todas linearmente independentes. Mas a dependência pode existir sem uma equação ser exatamente múltiplo de outra: por exemplo, uma delas pode ser combinação linear das outras. Aí você perde pivôs e o sistema pode ter infinitas soluções ou ser inconsistente, mesmo sem “múltiplos exatos”.
Conclusão: Falso.
Passo 7
(f) “Todo sistema linear homogêneo com mais incógnitas do que equações possui infinitas soluções.”
Como vimos, qualquer homogêneo Avec x=vec 0 é consistente (tem vec0) e, se #incógnitas>#equaçõesóçõ, sobram variáveis livres (menos pivôs que incógnitas), gerando infinitas soluções.
Conclusão: Verdadeiro.