Considere a matriz A=[ccc1 & 0 & -3 2 & x & -6 1 & 3 & x-5], em que x in R.
(a) Para quais valores de x, A é inversível?
(b) Tomando x=1, determine a inversa de A.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A= 1 & 0 & -3 2 & x & -6 1 & 3 & x-5 ,
com xinR, e pede:
  • (a) para que valores de x ela é invertível;
  • (b) tomando x=1, calcular A^-1.
Conteúdo: determinante para verificar invertibilidade e adjunta/ cofatores para encontrar a inversa.

Passo 2

Vamos calcular det A expandindo pela primeira linha (Laplace).
Os menores correspondentes são:
M11=detx & -63 & x-5, M12=det2 & -61 & x-5, M13=det2 & x1 & 3
Logo
det A =1cdot M11-0cdot M12+(-3)cdot M13
Calculando cada um:
M11=x(x-5)-(-6)cdot3 = x^2-5x+18,
M13=2cdot3 - xcdot1 =6 - x
Portanto
det A = (x^2-5x+18) -3(6-x) = x^2-5x+18 -18 +3x = x^2-2x = x(x-2)
Logo A é invertível se, e somente se,
det A neq 0 Long<=ftrightarrow x(x-2)neq0 Long<=ftrightarrow xneq0,,2

Passo 3

Agora tomamos x=1. A matriz fica
Al|x=1 = 1 & 0 & -3 2 & 1 & -6 1 & 3 & -4 ,
e de antes sabemos det A =1cdot(1-2)=-1.

Passo 4

Vamos montar a matriz de cofatores de A em x=1. Denotando por Cij o cofator (já incluindo o sinal (-1)^i+j), obtemos:
C11=det1 & -63 & -4=1cdot(-4)-(-6)cdot3=14,
C12=-det2 & -61 & -4 =-(2cdot(-4)-(-6)cdot1)=2,
C13=det2 & 11 & 3=2cdot3-1cdot1=5,
C21=-det0 & -33 & -4 =-(0cdot(-4)-(-3)cdot3)=-9,
C22=det1 & -31 & -4 =1cdot(-4)-(-3)cdot1=-1,
C23=-det1 & 01 & 3 =-(1cdot3-0cdot1)=-3,
C31=det0 & -31 & -6 =0cdot(-6)-(-3)cdot1=3,
C32=-det1 & -32 & -6 =-(1cdot(-6)-(-3)cdot2)=0,
C33=det1 & 02 & 1 =1cdot1-0cdot2=1

Passo 5

A adjunta (transposta da matriz de cofatores) é
adj(A) = 14 & -9 & 3 2 & -1 & 0 5 & -3 & 1
Como det A=-1, a inversa é
A^-1 =1det A,adj(A) =-1cdot 14 & -9 & 3 2 & -1 & 0 5 & -3 & 1 = -14 & 9 & -3 -2 & 1 & 0 -5 & 3 & -1

Resposta

(a) A é invertível se, e somente se, xneq0,,2.
(b) Para x=1:
A^-1 = -14 & 9 & -3 -2 & 1 & 0 -5 & 3 & -1

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