Considere a matriz
, em que
x in R .
(a) Para quais valores de
x, A é inversível?
(b) Tomando
x=1 , determine a inversa de
A .
(a) Para quais valores de
(b) Tomando
Passo 1
O enunciado dá a matriz
com
xinR , e pede:
- (a) para que valores de
ela é invertível;x - (b) tomando
, calcularx=1 .A^-1
Conteúdo: determinante para verificar invertibilidade e adjunta/ cofatores para encontrar a inversa.
Passo 2
Vamos calcular
det A expandindo pela primeira linha (Laplace).
Os menores correspondentes são:
Os menores correspondentes são:
Logo
Calculando cada um:
Portanto
Logo
A é invertível se, e somente se,
Passo 3
Agora tomamos
x=1 . A matriz fica
e de antes sabemos
det A =1cdot(1-2)=-1 .
Passo 4
Vamos montar a matriz de cofatores de
A em
x=1 . Denotando por
Cij o cofator (já incluindo o sinal
(-1)^i+j ), obtemos:
Passo 5
A adjunta (transposta da matriz de cofatores) é
Como
det A=-1 , a inversa é
Resposta
(a)
A é invertível se, e somente se,
xneq0,,2 .
(b) Parax=1 :
(b) Para