Considere a matriz ccc1 & 1 & -2 4 & 0 & 4 1 & -1 & 4. Determine os autovalores e autovetores de A. Determine uma base para cada um dos autoespaços. Verifique se A é diagonalizável.

Passo 1

Estamos lidando com a matriz
A=1 & 1 & -24 & 0 & 41 & -1 & 4
e precisamos achar os autovalores ( lambda), os autovetores correspondentes, uma base para cada autoespaço e verificar se A é diagonalizável. O conteúdo principal aqui é polinômio característico, fatoração em autovalores e solução de sistemas homogêneos (A-lambda I)v=0.

Passo 2

Para montar o polinômio característico, escrevemos
A-lambda I=1-lambda & 1 & -24 & -lambda & 41 & -1 & 4-lambda
E calculamos o determinante por expansão de primeira linha:
$$
\det(A-\lambda I)= (1-\lambda)\det det(A-lambda I)= (1-lambda)det-lambda & 4-1 & 4-lambda -1det4 & 41 & 4-lambda -2det4 & -lambda1 & -1
-1\det
-2\det .
$$

Passo 3

Ao simplificar essas determinantes e somar os termos, chega-se a
det(A-lambda I)=-lambda(lambda-2)(lambda-3)
Logo o polinômio característico é p(lambda)=-lambda(lambda-2)(lambda-3).

Passo 4

Os autovalores são as raízes de p(lambda)=0, ou seja:
lambda1=0, lambda2=2, lambda3=3

Passo 5

Para cada autovalor resolvemos (A-lambda I)v=0 e achamos uma base do autoespaço:
– Para lambda=0:
(A-0I)v=Av=0 leva ao sistema
x+y-2z=04x+4z=0x-y+4z=0
Daí x=-z, y=3z. Um vetor gerador é (-1,3,1).
– Para lambda=2:
(A-2I)v=0
-x+y-2z=04x-2y+4z=0x-y+2z=0
Resulta em x=0, y=2z. Um gerador é (0,2,1).
– Para lambda=3:
(A-3I)v=0
-2x+y-2z=04x-3y+4z=0x-y+z=0
Resulta em x=-z, y=0. Um gerador é (-1,0,1).

Passo 6

Cada autoespaço tem dimensão 1 e somando as dimensões temos 3 autovetores linearmente independentes, igual à ordem da matriz. Portanto A é diagonalizável.

Resposta

Autovalores: 0, 2 e 3.
Bases dos autoespaços:
E_{0}=\mathrm{span}{(-1,3,1)},
E_{2}=\mathrm{span}{(0,2,1)},
E_{3}=\mathrm{span}{(-1,0,1)}.
Como há 3 autovetores LI, A é diagonalizável.

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