Estude a posição relativa de r e s :
r: x+12=y=-z e rx+y-3 z=1 2 x-y-2 z=0

Passo 1

O enunciado pede para estudar a posição relativa entre a reta r e a reta s. O conteúdo envolve geometria analítica no espaço 3D e para resolver vamos precisar representar cada reta em forma paramétrica, encontrar seus vetores diretores, verificar se são paralelas e se possuem ponto de interseção.

Passo 2

Começamos representando a reta r que está em forma simétrica x+12=y=-z. Criando o parâmetro t tal que x+12=y=-z=t, obtemos a representação paramétrica
x = 2t - 1, y = t, z = -t
O vetor diretor é vr=(2,1,-1) e um ponto na reta é A(-1,0,0).

Passo 3

Para a reta s, resolvemos o sistema
x + y - 3z = 1, 2x - y - 2z = 0
Escolhemos z=lambda. Da segunda equação vem y=2x-2lambda. Substituindo na primeira:
x+(2x-2lambda)-3lambda=1implies 3x-5lambda=1implies x=1+5lambda3
Então
y=2+4lambda3, z=lambda
Logo, a forma paramétrica é
x=1+5lambda3, y=2+4lambda3, z=lambda,
com vetor diretor vs=(5/3,4/3,1), equivalente a (5,4,3), e ponto B(1/3,2/3,0).

Passo 4

Verificamos se r e s são paralelas comparando vr=(2,1,-1) e vs=(5,4,3). Não existe escalar k tal que (2,1,-1)=k(5,4,3), pois os componentes não são proporcionais. Logo, as retas não são paralelas.

Passo 5

Para ver se elas se interceptam, igualamos as representações paramétricas:
r(t)=(2t-1,,t,,-t), s(lambda)=l(1+5lambda3,,2+4lambda3,,lambdar)
Igualando coordenadas:
2t-1=1+5lambda3, t=2+4lambda3, -t=lambda
Da última equação vem lambda=-t. Substituindo na primeira obtemos t=4/11, mas na segunda sai t=2/11, o que é contraditório. Portanto não há ponto comum.

Passo 6

Como as retas não são paralelas nem se cruzam, concluímos que elas são reversas (não coplanares).

Resposta

As retas r e s são reversas (não coplanares).

Exercícios relacionados