Encontre uma matriz diagonal semelhante à matriz .
Passo 1
O exercício pede para achar uma matriz diagonal semelhante à matriz
A=1 & 1 & 2 0 & 1 & 0 0 & 1 & 3
Isso envolve o processo de diagonalização: vamos encontrar os autovalores de A, verificar se ela é diagonalizável e então montar a matriz diagonal com esses autovalores.
Passo 2
Começamos calculando o polinômio característico de A, usando det(A-lambda I)=0. Temos
Dos fatores do polinômio característico vemos os autovalores:
– lambda1=1 com multiplicidade algébrica 2.
– lambda2=3 com multiplicidade algébrica 1.
Passo 4
Precisamos garantir que a multiplicidade geométrica de lambda=1 seja 2 para A ser diagonalizável. Resolvendo (A-I)x=0:
A-I=0 & 1 & 2 0 & 0 & 0 0 & 1 & 2
Isso gera a equação y+2z=0, com x livre e z livre, dando dimensão da eigenspace igual a 2. Logo a multiplicidade geométrica de 1 é 2, igual à algébrica, e A é diagonalizável.
Passo 5
Como A é diagonalizável, existe P invertível tal que P^-1AP=D, onde D é a matriz diagonal cujas entradas são os autovalores, respeitando suas multiplicidades. Assim