Encontre uma matriz diagonal semelhante à matriz lll1 & 1 & 2 0 & 1 & 0 0 & 1 & 3.

Passo 1

O exercício pede para achar uma matriz diagonal semelhante à matriz
A=1 & 1 & 2 0 & 1 & 0 0 & 1 & 3
Isso envolve o processo de diagonalização: vamos encontrar os autovalores de A, verificar se ela é diagonalizável e então montar a matriz diagonal com esses autovalores.

Passo 2

Começamos calculando o polinômio característico de A, usando det(A-lambda I)=0. Temos
A-lambda I=1-lambda & 1 & 2 0 & 1-lambda & 0 0 & 1 & 3-lambda
Como a primeira coluna tem zeros nas duas últimas linhas, expandindo pelo menor de ordem 1:
det(A-lambda I)=(1-lambda)det1-lambda & 0 1 & 3-lambda=(1-lambda)l((1-lambda)(3-lambda)-0r)=(1-lambda)^2(3-lambda)

Passo 3

Dos fatores do polinômio característico vemos os autovalores:
lambda1=1 com multiplicidade algébrica 2.
lambda2=3 com multiplicidade algébrica 1.

Passo 4

Precisamos garantir que a multiplicidade geométrica de lambda=1 seja 2 para A ser diagonalizável. Resolvendo (A-I)x=0:
A-I=0 & 1 & 2 0 & 0 & 0 0 & 1 & 2
Isso gera a equação y+2z=0, com x livre e z livre, dando dimensão da eigenspace igual a 2. Logo a multiplicidade geométrica de 1 é 2, igual à algébrica, e A é diagonalizável.

Passo 5

Como A é diagonalizável, existe P invertível tal que P^-1AP=D, onde D é a matriz diagonal cujas entradas são os autovalores, respeitando suas multiplicidades. Assim

Passo 6

D= 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3

Resposta

diag(1,1,3)

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