Descreva a cônica que cada uma das equações abaixo determina:
2 x^2+y^2+2 y-1=0

Passo 1

O enunciado dá a equação 2x² + y² + 2y − 1 = 0. O conteúdo é classificação de cônicas: precisamos identificar se é elipse, hipérbole ou parábola, e para isso vamos completar o quadrado em y e colocar na forma padrão.

Passo 2

Agrupamos os termos em y e completamos o quadrado: 2x² + (y² + 2y) − 1 = 0. Como y² + 2y = (y + 1)² − 1, a equação vira 2x² + ( (y + 1)² − 1 ) − 1 = 0.

Passo 3

Reorganizando vem 2x² + (y + 1)² − 2 = 0, ou seja 2x² + (y + 1)² = 2. Dividindo tudo por 2 obtemos
x^21 ;+ ;(y+1)^22 ;= ;1

Passo 4

Isso mostra que a cônica é uma elipse com centro em (0, −1) e eixos alinhados aos eixos coordenados.

Resposta

Elipse de centro em (0,−1), semieixo horizontal a=1 e semieixo vertical b=√2, com forma canônica:
x^21 + (y+1)^22 = 1

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