Considere a matriz A=[ccc2 & -1 & -1 -1 & 1 & 0 -1 & 0 & 1], calcule a matriz X de ordem 3 times 1 em cada caso abaixo:
A X=3 X

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma matriz A de ordem 3 times 3 e precisa encontrar um vetor X de ordem 3 times 1 que satisfaça a equação A X = 3 X. Esse tipo de problema está relacionado com autovetores e autovalores na álgebra linear. Para resolver, vamos utilizar conceitos de matrizes e sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a equação A X = 3 X significa. Aqui, 3 é o autovalor associado ao autovetor X. Podemos reescrever a equação como (A - 3I) X = 0, onde I é a matriz identidade de ordem 3. Isso nos ajuda a montar um sistema de equações para encontrar X.

Passo 3

Vamos calcular a matriz (A - 3I). Subtraímos 3 dos elementos da diagonal principal de A:
A - 3I = 2-3 & -1 & -1 -1 & 1-3 & 0 -1 & 0 & 1-3 = -1 & -1 & -1 -1 & -2 & 0 -1 & 0 & -2

Passo 4

Agora, temos o sistema de equações [(A - 3I) X = 0):
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de e .

Passo 5

Observando as equações 2 e 3:
-1x1 - 2x2 = 0 e -1x1 - 2x3 = 0
Isso implica que -2x2 = -2x3, ou seja, x2 = x3. Vamos chamar ambos de k.
Substituindo x2 = k na equação 2:
-1x1 - 2k = 0 Rightarrow x1 = -2k
Então, temos:
x1 = -2k, x2 = k, x3 = k

Resposta

A matriz X que satisfaz A X = 3 X é:
X = -2k k k onde k é um número real não nulo éúã

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