Considere e matrizes invertíveis de mesma.ordem e considere a equação matricial :
(a) Determine em função de e .
(b) Se , determine X :
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de álgebra linear envolvendo matrizes. O problema nos pede para resolver uma equação matricial A X B - C = In , onde A, B, C e X são matrizes quadradas invertíveis do mesmo tamanho. Vamos precisar usar conceitos de multiplicação de matrizes e inversas para encontrar X em termos de A, B e C . Também vamos aplicar essas ideias com matrizes específicas no item (b).
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte (a). Queremos isolar X na equação A X B - C = In . A ideia é manipular a equação passo a passo para deixar X sozinho.
Passo 3
Começamos adicionando C em ambos os lados da equação para eliminar o -C do lado esquerdo:
A X B - C + C = In + C implies A X B = In + C
Passo 4
Agora, queremos isolar X . Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação pela inversa de A à esquerda e pela inversa de B à direita. Lembrando que a inversa de uma matriz A é aquela que satisfaz A^-1 A = In .
Primeiro, multiplicamos ambos os lados pela A^-1 à esquerda:
A^-1 A X B = A^-1 (In + C) implies In X B = A^-1 (In + C) implies X B = A^-1 (In + C)
Passo 5
Agora, multiplicamos ambos os lados pela B^-1 à direita para isolar X :
X B B^-1 = A^-1 (In + C) B^-1 implies X In = A^-1 (In + C) B^-1 implies X = A^-1 (In + C) B^-1
Passo 6
Prontinho! Encontramos X em termos de A, B e C :
X = A^-1 (In + C) B^-1
Passo 7
Agora, vamos para a parte (b). Aqui, substituímos A = B = C = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 1 & -1 & 1 na expressão que encontramos para X .