Considere a matriz A=[ccc2 & -1 & -1 -2 & 0 & 2 3 & -4 & 1] e p(x)=x^3-3 x^2+11 x. Determine p(A) :

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz A = 2 & -1 & -1 -2 & 0 & 2 3 & -4 & 1 e um polinômio p(x) = x^3 - 3x^2 + 11x . Nosso objetivo aqui é calcular p(A) , que significa substituir a matriz A na expressão do polinômio. Para fazer isso, precisamos entender como operar com matrizes e polinômios juntos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa substituir a matriz A no polinômio p(x) . Quando fazemos p(A) , estamos calculando:
p(A) = A^3 - 3A^2 + 11A
Isso quer dizer que precisamos calcular A^2 (A ao quadrado) e A^3 (A ao cubo), além de multiplicar a matriz A por constantes e depois somar tudo.

Passo 3

Vamos começar calculando A^2 . Para isso, multiplicamos a matriz A por ela mesma:
A^2 = A times A
A multiplicação de matrizes envolve multiplicar as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda e somar os produtos. Vamos fazer isso passo a passo:
A = 2 & -1 & -1 -2 & 0 & 2 3 & -4 & 1
Multiplicando A por A :
A^2 = (2)(2) + (-1)(-2) + (-1)(3) & (2)(-1) + (-1)(0) + (-1)(-4) & (2)(-1) + (-1)(2) + (-1)(1) (-2)(2) + (0)(-2) + (2)(3) & (-2)(-1) + (0)(0) + (2)(-4) & (-2)(-1) + (0)(2) + (2)(1) (3)(2) + (-4)(-2) + (1)(3) & (3)(-1) + (-4)(0) + (1)(-4) & (3)(-1) + (-4)(2) + (1)(1)
Calculando cada elemento:
A^2 = 4 + 2 - 3 & -2 + 0 + 4 & -2 + (-2) + (-1) -4 + 0 + 6 & 2 + 0 - 8 & 2 + 0 + 2 6 + 8 + 3 & -3 + 0 - 4 & -3 + (-8) + 1 = 3 & 2 & -5 2 & -6 & 4 17 & -7 & -10

Passo 4

Agora vamos calcular A^3 . Isso é simplesmente multiplicar A^2 por A :
A^3 = A^2 times A
Usando o A^2 que já calculamos:
A^2 = 3 & 2 & -5 2 & -6 & 4 17 & -7 & -10 , A = 2 & -1 & -1 -2 & 0 & 2 3 & -4 & 1
Multiplicando A^2 por A :
A^3 = (3)(2) + (2)(-2) + (-5)(3) & (3)(-1) + (2)(0) + (-5)(-4) & (3)(-1) + (2)(2) + (-5)(1) (2)(2) + (-6)(-2) + (4)(3) & (2)(-1) + (-6)(0) + (4)(-4) & (2)(-1) + (-6)(2) + (4)(1) (17)(2) + (-7)(-2) + (-10)(3) & (17)(-1) + (-7)(0) + (-10)(-4) & (17)(-1) + (-7)(2) + (-10)(1)
Calculando cada elemento:
A^3 = 6 - 4 - 15 & -3 + 0 + 20 & -3 + 4 - 5 4 + 12 + 12 & -2 + 0 - 16 & -2 - 12 + 4 34 + 14 - 30 & -17 + 0 + 40 & -17 -14 -10 = -13 & 17 & -4 28 & -18 & -10 18 & 23 & -41

Passo 5

Agora que temos A , A^2 e A^3 , podemos montar a expressão para p(A) :
p(A) = A^3 - 3A^2 + 11A
Vamos calcular cada termo:
  1. A^3 = -13 & 17 & -4 28 & -18 & -10 18 & 23 & -41
  2. -3A^2 = -3 times 3 & 2 & -5 2 & -6 & 4 17 & -7 & -10 = -9 & -6 & 15 -6 & 18 & -12 -51 & 21 & 30
  3. 11A = 11 times 2 & -1 & -1 -2 & 0 & 2 3 & -4 & 1 = 22 & -11 & -11 -22 & 0 & 22 33 & -44 & 11
Agora, vamos somar esses três resultados:
p(A) = A^3 - 3A^2 + 11A = -13 & 17 & -4 28 & -18 & -10 18 & 23 & -41 + -9 & -6 & 15 -6 & 18 & -12 -51 & 21 & 30 + 22 & -11 & -11 -22 & 0 & 22 33 & -44 & 11
Somando elemento por elemento:
p(A) = -13 -9 +22 & 17 -6 -11 & -4 +15 -11 28 -6 -22 & -18 +18 +0 & -10 -12 +22 18 -51 +33 & 23 +21 -44 & -41 +30 +11 = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0

Resposta

Portanto, p(A) = 0 , onde 0 é a matriz nula de ordem 3 times 3 .

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