Calcular det A usando o Método de Laplace (cofatores).
Se der, achar A^-1.
Fazer a “prova real” do item 2, ou seja, mostrar que Acdot A^-1=I.
O conteúdo usado é teoria de determinante (expansão de Laplace), condição de inversibilidade (detneq0), método de Gauss–Jordan para inversa e multiplicação de matrizes.
Passo 2
Calcular det A por Laplace. A fórmula geral é
det A=sumj=1^n(-1)^i+j,aij,det Mij,
onde Mij é a matriz que sobra tirando a linha i e a coluna j. Para simplificar, escolho a 4ª linha (i=4), porque tem um zero.
A 4ª linha é (0,,1,,2,,-1), então só três termos entram:
det A =sumj=1^4(-1)^4+ja4jdet M4j = (+1)cdot a42det M42 +(-1)cdot a43det M43 +(+1)cdot a44det M44
Detalhando:
j=2: a42=1, sinal (-1)^4+2=+1,
M42= 1 & -1 & 1 2 & 5 & -2 4 & -1 & 1 ,
det M42=1cdot5cdot1+(-1)cdot(-2)cdot4+1cdot2cdot(-1)-(1cdot5cdot4+(-1)cdot(-2)cdot1+1cdot2cdot(-1))=11-20=-9
j=3: a43=2, sinal (-1)^4+3=-1,
M43= 1 & -1 & 1 2 & 3 & -2 4 & -2 & 1 ,
det M43=7-14=-7
j=4: a44=-1, sinal (-1)^4+4=+1,
M44= 1 & -1 & -1 2 & 3 & 5 4 & -2 & -1 ,
det M44=-19-(-20)=1
Somando:
det A =+1cdot(-9);+;(-1)cdot2cdot(-7);+;(+1)cdot(-1)cdot1 =-9+14-1=4
Passo 3
Como det A=4neq0, A é invertível. Vou usar Gauss–Jordan: monto [Amid I] e aplico operações de linha para chegar em [Imid A^-1].
Pivô na linha 1, coluna 1 (já é 1). Elimino abaixo:
R2to R2-2R1, R3to R3-4R1.
Pivô na linha 2, coluna 2: divido R2 por 5, depois elimino acima e abaixo dessa coluna.
Pivô na linha 3, coluna 3: divido R3 por 1/5, elimino nas outras linhas.
Pivô na linha 4, coluna 4: divido R4 por 4, elimino acima.
Depois de todas as etapas (bastante mecânicas), chega-se a: