Considere a matriz:
A=(cccc 1 & -1 & -1 & 1 2 & 3 & 5 & -2 4 & -2 & -1 & 1 0 & 1 & 2 & -1 )
a) Calcule detA usando o Método de Laplace (dos Cofatores);
b) Determine, se possível, A^-1;
c) Faça a prova real do item b.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede. A gente tem uma matriz quadrada 4×4
A= 1 & -1 & -1 & 1 2 & 3 & 5 & -2 4 & -2 & -1 & 1 0 & 1 & 2 & -1
e precisa de:
  1. Calcular det A usando o Método de Laplace (cofatores).
  2. Se der, achar A^-1.
  3. Fazer a “prova real” do item 2, ou seja, mostrar que Acdot A^-1=I.
O conteúdo usado é teoria de determinante (expansão de Laplace), condição de inversibilidade ( detneq0), método de Gauss–Jordan para inversa e multiplicação de matrizes.

Passo 2

Calcular det A por Laplace. A fórmula geral é
det A=sumj=1^n(-1)^i+j,aij,det Mij,
onde Mij é a matriz que sobra tirando a linha i e a coluna j. Para simplificar, escolho a 4ª linha ( i=4), porque tem um zero.
A 4ª linha é (0,,1,,2,,-1), então só três termos entram:
det A =sumj=1^4(-1)^4+ja4jdet M4j = (+1)cdot a42det M42 +(-1)cdot a43det M43 +(+1)cdot a44det M44
Detalhando:
  1. j=2: a42=1, sinal (-1)^4+2=+1,
M42= 1 & -1 & 1 2 & 5 & -2 4 & -1 & 1 ,
det M42=1cdot5cdot1+(-1)cdot(-2)cdot4+1cdot2cdot(-1)-(1cdot5cdot4+(-1)cdot(-2)cdot1+1cdot2cdot(-1))=11-20=-9
  1. j=3: a43=2, sinal (-1)^4+3=-1,
M43= 1 & -1 & 1 2 & 3 & -2 4 & -2 & 1 ,
det M43=7-14=-7
  1. j=4: a44=-1, sinal (-1)^4+4=+1,
M44= 1 & -1 & -1 2 & 3 & 5 4 & -2 & -1 ,
det M44=-19-(-20)=1
Somando:
det A =+1cdot(-9);+;(-1)cdot2cdot(-7);+;(+1)cdot(-1)cdot1 =-9+14-1=4

Passo 3

Como det A=4neq0, A é invertível. Vou usar Gauss–Jordan: monto [Amid I] e aplico operações de linha para chegar em [Imid A^-1].
  1. Pivô na linha 1, coluna 1 (já é 1). Elimino abaixo:
    • R2to R2-2R1, R3to R3-4R1.
  2. Pivô na linha 2, coluna 2: divido R2 por 5, depois elimino acima e abaixo dessa coluna.
  3. Pivô na linha 3, coluna 3: divido R3 por 1/5, elimino nas outras linhas.
  4. Pivô na linha 4, coluna 4: divido R4 por 4, elimino acima.
Depois de todas as etapas (bastante mecânicas), chega-se a:
l[I;|;A^-1r], A^-1= -tfrac12 & tfrac14 & tfrac14 & -tfrac34[6pt] -tfrac12 & tfrac34 & -tfrac14 & -tfrac94[6pt] tfrac32 & -tfrac14 & -tfrac14 & tfrac74[6pt] tfrac52 & tfrac14 & -tfrac34 & tfrac14
]

Passo 4

Prova real: mostrar Acdot A^-1=I. Cada entrada (i,j) do produto é
(A,A^-1)ij =sumk=1^4 aik,bkj
Por exemplo, linha 1 de A (1,-1,-1,1) vezes coluna 1 de A^-1 l(-tfrac12,-tfrac12,tfrac32,tfrac52r):
1cdotl(-tfrac12r) +(-1)cdotl(-tfrac12r) +(-1)cdottfrac32 +1cdottfrac52 =-tfrac12+tfrac12-tfrac32+tfrac52 =1
Fazendo isso para todas as 16 combinações (cada linha de A com cada coluna de A^-1), sai exatamente a matriz identidade I4.

Resposta

det A = 4,
A^-1= -tfrac12 & tfrac14 & tfrac14 & -tfrac34[4pt] -tfrac12 & tfrac34 & -tfrac14 & -tfrac94[4pt] tfrac32 & -tfrac14 & -tfrac14 & tfrac74[4pt] tfrac52 & tfrac14 & -tfrac34 & tfrac14
]

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