Dado o sistema linear
c 3 x+3 y-2 z-t=-2 5 x+2 y+z-2 t=-3 2 x-y+z-t=-2
a) ( 0,5 ponto) Escreva o sistema no formato matricial AX=B;
b) ( 1,0 ponto) Resolva o sistema utilizando Gauss-Jordan;
c) (0,5 ponto) Escreva a solução geral do sistema e classifique-o.

Passo 1

A questão dá um sistema de 3 equações e 4 incógnitas
3x+3y-2z-t=-2, 5x+2y+z-2t=-3, 2x-y+z-t=-2,
e pede:
  1. escrever em forma matricial AX=B;
  2. resolver por eliminação de Gauss–Jordan (operações elementares de linha para chegar na forma reduzida);
  3. achar a solução geral e classificar o sistema (única, infinitas ou sem solução).

Passo 2

Forma matricial :

Passo 3

Montar a matriz aumentada e pivotar em :

Passo 4

Pivô em y e em z:
[cccc|c 1 &1 &-tfrac23 &-tfrac13 &-tfrac23 0 &-3 &tfrac133 &-tfrac13 &tfrac13 0 &-3 &tfrac73 &-tfrac13 &-tfrac23 ] xrightarrowL2 -tfrac13L2 [cccc|c 1 &1 &-tfrac23 &-tfrac13 &-tfrac23 0 &1 &-tfrac139 &tfrac19 &-tfrac19 0 &-3 &tfrac73 &-tfrac13 &-tfrac23 ] xrightarrowL3 L3+3L2 [cccc|c 1 &1 &-tfrac23 &-tfrac13 &-tfrac23 0 &1 &-tfrac139 &tfrac19 &-tfrac19 0 &0 &-2 &0 &-1 ] xrightarrowL3 -tfrac12L3 [cccc|c 1 &1 &-tfrac23 &-tfrac13 &-tfrac23 0 &1 &-tfrac139 &tfrac19 &-tfrac19 0 &0 &1 &0 &tfrac12 ]

Passo 5

Zerar acima dos pivôs para RREF:

Passo 6

Da forma reduzida extraímos:
x-tfrac49,t=-tfrac1718, y+tfrac19,t=tfrac1118, z=tfrac12, Longrightarrow x=-tfrac1718+tfrac49,t,; y=tfrac1118-tfrac19,t,; z=tfrac12,; tin R
Há um parâmetro livre t, logo infinitas soluções (sistema possível indeterminado).

Resposta

a)
b)
c)
Solução geral:
Classificação: sistema possível indeterminado (infinitas soluções).

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