Mostre as seguintes igualdades:
(-alpha)(-v)=alpha v.

Passo 1

O enunciado pede para provar, num espaço vetorial, que (- alpha)(- vec v) = alpha,vec v. Vamos usar as propriedades de um espaço vetorial, em particular a existência de inverso aditivo de escalares e vetores e as leis distributivas.

Passo 2

Mostramos primeiro que
alpha(-vec v)= -(alpha,vec v)
De fato, pelo distributivo em relação à soma de vetores,
alpha(-vec v)+alpha,vec v = alphal(-vec v + vec vr) = alpha,vec 0 = vec 0
Como o único vetor que somado a alpha,vec v vec 0 é seu inverso aditivo -(alpha,vec v), concluímos
alpha(-vec v)= -(alpha,vec v)

Passo 3

Mostramos agora que
(-alpha),vec v = -(alpha,vec v)
Usando o distributivo em relação à soma de escalares,
(-alpha),vec v + alpha,vec v = l(-alpha + alphar)vec v = 0,vec v = vec 0
Logo (-alpha),vec v é o inverso aditivo de alpha,vec v, ou seja
(-alpha),vec v = -(alpha,vec v)

Passo 4

Finalmente, combinamos os dois resultados para obter
(-alpha)(- vec v) = -l(alpha(-vec v)r) = -l(-(alpha,vec v)r) = alpha,vec v,
onde usamos que o inverso aditivo de -(alpha,vec v) é alpha,vec v.

Resposta

(-alpha)(- vec v) = alpha,vec v

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