Pré ou pós multiplicando a matriz A e as matrizes resultantes, para cada etapa encontre as matrizes de transformações elementares que façam, em sequência:
a) Trocar a segunda e terceira linhas;
b) Substituir a terceira coluna pela primeira coluna multiplicada por 2 menos a terceira;
c) Dividir a primeira linha por 4;
d) Trocar a primeira e quarta colunas;
e) Ache o determinante das matrizes de operações elementares em cada um dos passos anteriores;
f) Encontre as matrizes P e Q tal que o produto P A Q efetue as transformações diretamente.
g) Qual a razão entre |A| e |P A Q| ?
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a matriz Ain R^4times4 e queremos, passo a passo, encontrar as matrizes elementares que realizam as operações lineares definidas (troca de linhas, operação em colunas, escala em linha etc.), depois calcular o determinante de cada matriz elementar, e ao final agrupar tudo em duas matrizes P (para as operações de linhas) e Q (para as de colunas) de modo que P A Q realize todas as transformações de uma vez só. Por fim, achar a razão entre |A| e |P A Q|.
Passo 2
Operação (a): trocar a 2ª e a 3ª linhas. A matriz elementar que faz isso por pré-multiplicação é
Ea= 1&0&0&0 0&0&1&0 0&1&0&0 0&0&0&1 ,
porque ela intercala as linhas 2 e 3 de qualquer matriz ao ser aplicada à esquerda.
Passo 3
Operação (b): substituir a 3ª coluna por $2\times$1ª coluna menos a 3ª. Isso é feito por pós-multiplicação com a matriz elementar
2times
já que a 3ª coluna do produto Fb= 1&0&2&0 0&1&0&0 0&0&-1&0 0&0&0&1 , será A Fb.