Considere a matriz cccc8 & 4 & -4 & 12 1 & -1 & 2 & 6 2 & 0 & 3 & -2 4 & 1 & -1 & -1 (sugestão: use o R).
Pré ou pós multiplicando a matriz A e as matrizes resultantes, para cada etapa encontre as matrizes de transformações elementares que façam, em sequência:
a) Trocar a segunda e terceira linhas;
b) Substituir a terceira coluna pela primeira coluna multiplicada por 2 menos a terceira;
c) Dividir a primeira linha por 4;
d) Trocar a primeira e quarta colunas;
e) Ache o determinante das matrizes de operações elementares em cada um dos passos anteriores;
f) Encontre as matrizes P e Q tal que o produto P A Q efetue as transformações diretamente.
g) Qual a razão entre |A| e |P A Q| ?

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a matriz Ain R^4times4 e queremos, passo a passo, encontrar as matrizes elementares que realizam as operações lineares definidas (troca de linhas, operação em colunas, escala em linha etc.), depois calcular o determinante de cada matriz elementar, e ao final agrupar tudo em duas matrizes P (para as operações de linhas) e Q (para as de colunas) de modo que P A Q realize todas as transformações de uma vez só. Por fim, achar a razão entre |A| e |P A Q|.

Passo 2

Operação (a): trocar a 2ª e a 3ª linhas. A matriz elementar que faz isso por pré-multiplicação é
Ea= 1&0&0&0 0&0&1&0 0&1&0&0 0&0&0&1 ,
porque ela intercala as linhas 2 e 3 de qualquer matriz ao ser aplicada à esquerda.

Passo 3

Operação (b): substituir a 3ª coluna por $2\times$1ª coluna menos a 3ª. Isso é feito por pós-multiplicação com a matriz elementar
2times
já que a 3ª coluna do produto Fb= 1&0&2&0 0&1&0&0 0&0&-1&0 0&0&0&1 , será A Fb.

Passo 4

Operação ©: dividir a 1ª linha por 4. A matriz elementar de linha é
Ec=diagl(tfrac14,1,1,1r)= tfrac14&0&0&0 0&1&0&0 0&0&1&0 0&0&0&1

Passo 5

Operação (d): trocar a 1ª e a 4ª colunas. A matriz de coluna é
Qd= 0&0&0&1 0&1&0&0 0&0&1&0 1&0&0&0 ,
pois ao multiplicar A Qd as colunas 1 e 4 são trocadas.

Passo 6

Determinantes das matrizes elementares:



Passo 7

Montando as matrizes finais:
  • Para linhas definimos P=Ec,Ea. Explicitamente,
P= tfrac14&0&0&0 0&0&1&0 0&1&0&0 0&0&0&1
  • Para colunas definimos Q=Fb,Qd. Calculando o produto,
Q= 0&0&2&1 0&1&0&0 0&0&-1&0 1&0&0&0
Então de fato P A Q faz todas as transformações.

Passo 8

Determinante de P A Q e razão com |A|:
Como
det(PAQ)=det(P),det(A),det(Q) =l(det(Ec)det(Ea)r),det(A),l(det(Fb)det(Qd)r) =l(tfrac14cdot(-1)r)det(A)l((-1)cdot(-1)r) =-tfrac14,det(A)
a razão pedida é
|A||P A Q|=-4

Resposta

-4

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