Encontre as inversas, quando existir.
cccos (theta) & -sen(theta) sen(theta) & cos (theta)

Passo 1

Temos a matriz
A=cos(theta)&-sen(theta) sen(theta)&cos(theta)
O conteúdo é encontrar a inversa de uma matriz 2×2 e reconhecer que essa é uma matriz de rotação em R^2. Vamos precisar da definição de inversa e da fórmula para matrizes 2×2.

Passo 2

Primeiro, calculamos o determinante de A. Para uma matriz
A=a&bc&d
o determinante é det(A)=ad-bc. No nosso caso:
a=cos(theta), b=-sen(theta), c=sen(theta), d=cos(theta)
Logo:
det(A)=cos(theta)cdotcos(theta)-(-sen(theta))cdotsen(theta)=cos^2(theta)+sen^2(theta)=1
Como det(A)=1neq0, a inversa existe.

Passo 3

Em seguida, usamos a fórmula da inversa para matriz 2×2:
Para
A=a&bc&d, A^-1=1det(A)d&-b-c&a
Substituindo os valores e det(A)=1:
A^-1=cos(theta)&-(-sen(theta))-sen(theta)&cos(theta)=cos(theta)&sen(theta)-sen(theta)&cos(theta)

Passo 4

Também podemos observar que, por ser uma matriz de rotação, ela é ortogonal. Logo, A^-1=A^T, o que confirma o resultado encontrado.

Resposta

A inversa é
A^-1=cos(theta)&sen(theta)-sen(theta)&cos(theta)

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