Considere a matriz ccI & theta 1 theta 1^t & 1 (atenção para as dimensões):
a) Determine theta para o qual A não seja singular.
b) Encontre A^- 1.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: temos a matriz em blocos
A=In & theta,1n[0.3em] theta,1n^T & 1,
onde In é a identidade ntimes n e 1n é o vetor coluna de uns de tamanho n. Vamos usar determinante por Schur complement e fórmula de inversão de matriz em blocos.

Passo 2

Cálculo do determinante por Schur complement: se
A=P&QR&S
e P é invertível, então
det A=det Pcdotdetl(S-RP^-1Qr)
Aqui P=In, Q=theta1n, R=theta1n^T, S=1. Logo
S-RP^-1Q=1-theta^2,1n^T1n=1-ntheta^2,
e
det A=1cdot(1-ntheta^2)=1-ntheta^2

Passo 3

Condição de não singularidade: para A ser invertível, det Aneq0. Isso dá
1-ntheta^2neq0 $$
\theta\neq\pm\frac1{\sqrt n}.
$$

Passo 4

Fórmula de inversão em blocos: para
A=P&QR&S,
com P invertível e De, temos
A^-1=P^-1+P^-1QDe
Aplicando P=In, Q=theta1n, R=theta1n^T, De, obtemos

Passo 5

Resultado final simplificado para A^-1:

Passo 6

A^-1= In+theta^21-ntheta^2,1n1n^T & -theta1-ntheta^2,1n[0.3em] -theta1-ntheta^2,1n^T & 11-ntheta^2

Resposta

thetaneqpm1raizn
A^-1= In+theta^21-ntheta^2,1n1n^T & -theta1-ntheta^2,1n[0.3em] -theta1-ntheta^2,1n^T & 11-ntheta^2

Exercícios relacionados