Dada as letras C,O, O, R, A, A e C responda as seguintes questões:
a) Quantos são os anagramas que podemos formar?
b) Quantos são os anagramas que começam por vogal e terminam por consoante?
Quantos são os anagramas que tem ACA nesta ordem?

Passo 1

Resumo rápido: queremos contar anagramas das sete letras C,O,O,R,A,A,C. É um problema de contagem com elementos repetidos (multinômio). Vamos usar fórmulas de permutação de multiconjuntos e também raciocínio de probabilidade condicional para a parte da posição de vogal/consoante.

Passo 2

Para a letra a), o número total de anagramas de um multiconjunto com 7 símbolos, sendo três tipos repetidos (A, C e O repetidos duas vezes cada) é
7!2!,2!,2! = 50408 = 630
Então há 630 anagramas no total.

Passo 3

Para a letra b), vamos contar os anagramas que começam por vogal e terminam por consoante. Primeiro, a probabilidade de a primeira letra ser vogal (há 4 vogais em 7 posições) é
Pr(vogal no início) = 47í
Depois de usar essa vogal, restam 6 letras, das quais 3 são consoantes, então a probabilidade de a última ser consoante é
Pr(consoante no fimmidvogal no início) = 36 = 12í
Multiplicando e aplicando ao total de anagramas, obtemos:
630 times 47 times 36 = 180
Portanto existem 180 anagramas que começam por vogal e terminam por consoante.

Passo 4

Para a terceira parte, queremos anagramas que contenham a sequência “ACA” de forma consecutiva. A ideia é tratar “ACA” como um único bloco. Esse bloco usa 2 letras A e 1 letra C, restando ainda 1 C, 2 O e 1 R.
Depois de formar o bloco, temos no total 5 “objetos” para permutar: o bloco ACA, mais C, O, O e R. Dessas 5 posições há 2 Os idênticos, então o número de arranjos é
5!2! = 1202 = 60
Logo há 60 anagramas que apresentam a sequência “ACA” nessa ordem.

Resposta

a) 630; b) 180; c) 60

Exercícios relacionados