Considere a matriz particionada
. Mostre por meio do escalonamento de
que:
Passo 1
O exercício apresenta uma matriz em blocos
e pede para mostrar, via escalonamento por blocos, que sua inversa é dada pela fórmula que envolve o complemento de Schur
. Vamos usar eliminação de Gauss em blocos aplicada à matriz aumentada
.
Passo 2
Começamos construindo a matriz aumentada em blocos:
Passo 3
Em seguida, aplicamos a primeira eliminação: multiplicamos a primeira linha pela inversa
e usamos para zerar
na segunda linha.
Depois dessa operação, obtemos
Depois dessa operação, obtemos
Passo 4
Agora multiplicamos a segunda linha por
para tornar a posição (2,2) igual a
. Ficamos com
Passo 5
Por fim, usamos a segunda linha para zerar o bloco
na primeira linha: subtraímos da linha 1 a linha 2 multiplicada por
. Obtém-se
Como a parte direita dessa matriz aumentada é justamente
, mostramos a fórmula desejada.
Finalizando, a inversa de em blocos é o bloco resultante à direita do escalonamento.
Finalizando, a inversa de