Considere a matriz particionada llA11 & A12 A21 & A22. Mostre por meio do escalonamento de A que:
A^-1=[cc A11^-1-A11^-1 A12 F^-1 A21 A11^-1 & -A11^-1 A12 F^-1 -F^-1 A21 A11^-1 & F^-1 ]

Passo 1

O exercício apresenta uma matriz em blocos A=A11&A12[0.3em]A21&A22 e pede para mostrar, via escalonamento por blocos, que sua inversa é dada pela fórmula que envolve o complemento de Schur F=A22-A21A11^-1A12. Vamos usar eliminação de Gauss em blocos aplicada à matriz aumentada [Amid I].

Passo 2

Começamos construindo a matriz aumentada em blocos:
[Amid I]=[cc|cc A11&A12&I&0[0.5em] A21&A22&0&I ]

Passo 3

Em seguida, aplicamos a primeira eliminação: multiplicamos a primeira linha pela inversa A11^-1 e usamos para zerar A21 na segunda linha.
Depois dessa operação, obtemos
[cc|cc I&A11^-1A12&A11^-1&0[0.5em] 0&A22-A21A11^-1A12&-A21A11^-1&I ] =[cc|cc I&A11^-1A12&A11^-1&0[0.5em] 0&F&-A21A11^-1&I ]

Passo 4

Agora multiplicamos a segunda linha por F^-1 para tornar a posição (2,2) igual a I. Ficamos com
[cc|cc I&A11^-1A12&A11^-1&0[0.5em] 0&I&-F^-1A21A11^-1&F^-1 ]

Passo 5

Por fim, usamos a segunda linha para zerar o bloco A11^-1A12 na primeira linha: subtraímos da linha 1 a linha 2 multiplicada por A11^-1A12. Obtém-se
[cc|cc I&0&A11^-1-A11^-1A12F^-1A21A11^-1&-A11^-1A12F^-1[0.5em] 0&I&-F^-1A21A11^-1&F^-1 ]
Como a parte direita dessa matriz aumentada é justamente A^-1, mostramos a fórmula desejada.
Finalizando, a inversa de A em blocos é o bloco resultante à direita do escalonamento.

Resposta

A^-1= A11^-1-A11^-1A12F^-1A21A11^-1 & -A11^-1A12F^-1 -,F^-1A21A11^-1 & F^-1

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