Sabendo que rank(0)=0 e que A e B são matrizes n times n, prove que ccA & I I & B se, e somente se B^- 1=A.

Passo 1

Vamos mostrar que a matriz em blocos
M=A & I I & B
tem posto n se, e somente se B^-1=A. Para isso, vamos usar o conceito de núcleo (kernel) e o Teorema do posto-nulidade.

Passo 2

Primeiro, caracterizamos o núcleo de M. Seja um vetor vin R^2n escrito como bloco v=xy com x,yin R^n. A equação Mv=0 equivale ao sistema:
Ax+y=0, x+By=0
Da primeira equação vem y=-Ax. Substituindo na segunda obtém-se
x + B(-Ax)=0 Longrightarrow (In - B A),x = 0
Portanto
ker M = (x,y): y=-Ax,; (In-BA)x=0cong ker(In-BA)

Passo 3

Pelo Teorema do posto-nulidade, para a matriz M de tamanho 2ntimes2n vale
Como rank(M) + dimker(M) = 2n , temos
Logo se, e somente se dimker(M)=dimker(In-BA)<= n, o que só ocorre quando
rank(M)=2n - dimker(In-BA)

Passo 4

De BA=In seguimos que B é invertível e A é sua inversa à direita. Como são matrizes quadradas, uma inversa à direita é também à esquerda, logo
A = B^-1
Reciprocamente, se A=B^-1 então BA=In e pelo mesmo argumento acima chega-se a .

Resposta

se, e somente se rankA & I I & B=n.

Exercícios relacionados