Sabendo que
e que
e
são matrizes
, prove que
se, e somente se
.
Passo 1
Vamos mostrar que a matriz em blocos
tem posto
se, e somente se
. Para isso, vamos usar o conceito de núcleo (kernel) e o Teorema do posto-nulidade.
Passo 2
Primeiro, caracterizamos o núcleo de
. Seja um vetor
escrito como bloco
com
. A equação
equivale ao sistema:
Da primeira equação vem
. Substituindo na segunda obtém-se
Portanto
Passo 3
Pelo Teorema do posto-nulidade, para a matriz
de tamanho
vale
Como
, temos
Logo se, e somente se
, o que só ocorre quando
Passo 4
De
seguimos que
é invertível e
é sua inversa à direita. Como são matrizes quadradas, uma inversa à direita é também à esquerda, logo
Reciprocamente, se
então
e pelo mesmo argumento acima chega-se a .
Resposta
se, e somente se
.