Q1: Considere A uma matriz cujas colunas saio formadas pelos vetores \vec{a}_{1}, \vec{a}_{2}, \vec{a}_{3} \in \mathbb{R}^{3}. Seja B uma matriz cujas colunas \vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \vec{b}_{3} satisfazem: \vec{b}_{1}=4 \vec{a}_{1}+2 \vec{a}_{2}+2 \vec{a}_{3}
\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \vec{b}_{3} satisfazem: \vec{b}_{1}=4 \vec{a}_{1}+2 \vec{a}_{2}+2 \vec{a}_{3},
\vec{b}_{2}=7 \vec{a}_{1}+5 \vec{a}_{2}+6 \vec{a}_{3} \quad e \quad \vec{b}_{3}=2 \vec{a}_{1}+3 \vec{a}_{2}+4 \vec{a}_{3}.
\vec{b}_{2}=7 \vec{a}_{1}+5 \vec{a}_{2}+6 \vec{a}_{3} e \vec{b}_{3}=2 \vec{a}_{1}+3 \vec{a}_{2}+4 \vec{a}_{3}.
Sabendo que \operatorname{det}(A)=2, assinale o valor \operatorname{do} \operatorname{det}(B) :
(A) -10
(B) -8
(C) -6
(D) -4
(E) -2
(F) 0
(G) 2
(H) 4
(I) Não sei

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A\in\mathbb{R}^{3\times3} cujas colunas são \vec a_{1},\vec a_{2},\vec a_{3} e outra matriz B cujas colunas são combinações lineares desses vetores:
\vec b_{1}=4\vec a_{1}+2\vec a_{2}+2\vec a_{3},\quad \vec b_{2}=7\vec a_{1}+5\vec a_{2}+6\vec a_{3},\quad \vec b_{3}=2\vec a_{1}+3\vec a_{2}+4\vec a_{3}.
Sabendo que \det(A)=2, queremos \det(B). O conteúdo é a propriedade de determinante em produto de matrizes:
\det(A\,M)=\det(A)\,\det(M).

Passo 2

Note que podemos escrever
B = A\,M,
onde M é a matriz que transforma as colunas de A nas colunas de B. As colunas de M são os coeficientes das combinações:
M = \begin{pmatrix} 4 & 7 & 2 \\\\ 2 & 5 & 3 \\\\ 2 & 6 & 4 \end{pmatrix}.

Passo 3

Vamos calcular \det(M) pela regra de Sarrus ou expansão por co-fatores na primeira linha:
\det(M) =4\begin{vmatrix}5 & 3 \\\\ 6 & 4\end{vmatrix} -7\begin{vmatrix}2 & 3 \\\\ 2 & 4\end{vmatrix} +2\begin{vmatrix}2 & 5 \\\\ 2 & 6\end{vmatrix}.
Cada determinante 2\times2 vale:
\begin{vmatrix}5 & 3 \\\\ 6 & 4\end{vmatrix} =5\cdot4-3\cdot6=20-18=2,
\begin{vmatrix}2 & 3 \\\\ 2 & 4\end{vmatrix} =2\cdot4-3\cdot2=8-6=2,
\begin{vmatrix}2 & 5 \\\\ 2 & 6\end{vmatrix} =2\cdot6-5\cdot2=12-10=2.
Substituindo:
\det(M)=4\cdot2-7\cdot2+2\cdot2=8-14+4=-2.

Passo 4

Agora uso \det(B)=\det(A\,M)=\det(A)\,\det(M). Como \det(A)=2 e \det(M)=-2, temos
\det(B)=2\cdot(-2)=-4.

Resposta

-4 (opção D)

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