Q18: Seja A uma matriz 2 \times 2 cujos autovalores são 9 e -5 associados, respectivamente, a \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2}
Defina M=\left[\begin{array}{ll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2}\end{array}\right]. A inversa de A pode ser expressa como:
(A) A^{-1}=M^{-1}\left[\begin{array}{rr}9 & 0 \\\\ 0 & -5\end{array}\right] M
(B) A^{-1}=M^{-1}\left[\begin{array}{rr}-9 & 0 \\\\ 0 & 5\end{array}\right] M
(C) A^{-1}=M\left[\begin{array}{rr}9 & 0 \\\\ 0 & -5\end{array}\right] M^{-1}
(D) A^{-1}=M\left[\begin{array}{rr}\frac{1}{9} & 0 \\\\ 0 & -\frac{1}{5}\end{array}\right] M^{-1}
(E) A^{-1}=M^{-1}\left[\begin{array}{rr}\frac{1}{9} & 0 \\\\ 0 & -\frac{1}{5}\end{array}\right] M
(F) A^{-1}=M\left[\begin{array}{rr}-9 & 0 \\\\ 0 & 5\end{array}\right] M^{-1}
(G) Não sei

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz 2\times2 cujos autovalores são 9 e -5, com autovetores \vec v_1 e \vec v_2. Definimos
M = \bigl[\vec v_1 \;\; \vec v_2\bigr].
Queremos expressar A^{-1} em função de M. O conteúdo envolvido é a diagonalização de matrizes e a inversão de matriz diagonal.

Passo 2

Como colunas de M são autovetores, temos a diagonalização
A = M \begin{pmatrix} 9 & 0\\\\ 0 & -5 \end{pmatrix} M^{-1}.

Passo 3

Para inverter A, usamos
\bigl(M D M^{-1}\bigr)^{-1} = M\,D^{-1}\,M^{-1},
onde a inversão de uma matriz diagonal troca cada entrada diagonal pelo seu recíproco. Assim,
D^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{9} & 0\\\\ 0 & -\frac{1}{5} \end{pmatrix}.

Passo 4

Substituindo em A^{-1} = M\,D^{-1}\,M^{-1}, obtemos
A^{-1} = M \begin{pmatrix} \frac{1}{9} & 0\\\\ 0 & -\frac{1}{5} \end{pmatrix} M^{-1}.

Resposta

(D) A^{-1} = M \left[ \begin{array}{rr} \frac{1}{9} & 0 \\\ [6pt] 0 & -\frac{1}{5} \end{array} \right] M^{-1}

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