Q16: Seja
uma matriz simétrica
e
a forma quadrática associada. Se o espectro de
é
, podemos afirmar que:
(A)
para todo
.
(B)
para todo
e existe
com
.
(C) existem
e
tais que
.
(D)
para todo
.
(E)
para todo
e existe
com
.
(F) Nảo sei
(A)
(B)
(C) existem
(D)
(E)
(F) Nảo sei
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz simétrica de ordem
e define a forma quadrática
O espectro de
é
, o que significa que todos os autovalores de
são iguais a
,
ou
. Para decidir a natureza de
, vamos usar o Teorema Espectral para matrizes simétricas e a relação entre autovalores e sinal da forma quadrática.
Passo 2
Pelo Teorema Espectral, existe uma base ortonormal
de autovetores de
com autovalores correspondentes
, cada
. Escrevendo
, temos
Como cada
, cada termo
, logo
para todo
.
Passo 3
Além disso, como
é autovalor de
, existe
tal que
. Para esse
temos
Isso mostra que a forma quadrática é semidefinida negativa: nunca é positiva, é sempre não-positiva, e atinge zero em vetores não-nulos.
Passo 4
A descrição “
para todo
e existe
com
” corresponde exatamente à alternativa (E).
Resposta
(E)
para todo
e existe
com
.