Q16: Seja A uma matriz simétrica 5 \times 5 e f(\vec{v})=\vec{v}^{T} A \vec{v} a forma quadrática associada. Se o espectro de A é \{-4,-1,0\}, podemos afirmar que:
(A) f(\vec{v})<0 para todo \vec{v} \neq \overrightarrow{0}.
(B) f(\vec{v}) \geq 0 para todo \vec{v} e existe \vec{w} \neq 0 com f(\vec{w})=0.
(C) existem \vec{v} e \vec{w} tais que f(\vec{v})<0<f(\vec{w}).
(D) f(\vec{v})>0 para todo \vec{v} \neq \overrightarrow{0}.
(E) f(\vec{v}) \leq 0 para todo \vec{v} e existe \vec{w} \neq 0 com f(\vec{w})=0.
(F) Nảo sei

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz simétrica de ordem 5 e define a forma quadrática
f(\vec{v}) = \vec{v}^T A \vec{v}.
O espectro de A é \{-4,-1,0\}, o que significa que todos os autovalores de A são iguais a -4, -1 ou 0. Para decidir a natureza de f, vamos usar o Teorema Espectral para matrizes simétricas e a relação entre autovalores e sinal da forma quadrática.

Passo 2

Pelo Teorema Espectral, existe uma base ortonormal \{\vec{u}_1,\dots,\vec{u}_5\} de autovetores de A com autovalores correspondentes \lambda_1,\dots,\lambda_5, cada \lambda_i\in\{-4,-1,0\}. Escrevendo \vec{v}=\sum_{i=1}^5 x_i\vec{u}_i, temos
f(\vec{v}) = \vec{v}^T A \vec{v} = \sum_{i=1}^5 \lambda_i\,x_i^2.
Como cada \lambda_i\le 0, cada termo \lambda_i x_i^2\le0, logo f(\vec{v})\le0 para todo \vec{v}.

Passo 3

Além disso, como 0 é autovalor de A, existe \vec{w}\neq\vec{0} tal que A\vec{w}=\vec{0}. Para esse \vec{w} temos
f(\vec{w}) = \vec{w}^T A \vec{w} = \vec{w}^T \vec{0} = 0.
Isso mostra que a forma quadrática é semidefinida negativa: nunca é positiva, é sempre não-positiva, e atinge zero em vetores não-nulos.

Passo 4

A descrição “ f(\vec{v})\le0 para todo \vec{v} e existe \vec{w}\neq0 com f(\vec{w})=0” corresponde exatamente à alternativa (E).

Resposta

(E) f(\vec{v})\leq 0 para todo \vec{v} e existe \vec{w}\neq0 com f(\vec{w})=0.

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