Qual é a posição relativa das circunferências
\Gamma_{1}: x^{2}+y^{2}=16 \quad \text { e } \quad \Gamma_{2}: x^{2}+y^{2}+6 x-4 y+4=0 ?

Passo 1

O enunciado nos dá duas circunferências
\Gamma_{1}: x^{2}+y^{2}=16
e
\Gamma_{2}: x^{2}+y^{2}+6x-4y+4=0
Queremos determinar a posição relativa entre elas. O conteúdo é geometria analítica de círculos: precisamos encontrar centros e raios, calcular a distância entre centros e comparar esse valor com a soma e o valor absoluto da diferença dos raios.

Passo 2

Para \Gamma_{1} notamos que sua equação já está na forma padrão
(x-0)^{2}+(y-0)^{2}=4^{2}.
Logo o centro é C_{1}=(0,0) e o raio é r_{1}=4.

Passo 3

Para \Gamma_{2} completamos quadrados em x e em y:
x^{2}+6x + y^{2}-4y +4 =0
(x+3)^{2}-9 + (y-2)^{2}-4 +4 =0
(x+3)^{2}+(y-2)^{2} -9 =0
(x+3)^{2}+(y-2)^{2} =9.
Assim o centro é C_{2}=(-3,2) e o raio é r_{2}=3.

Passo 4

Calculamos a distância entre os centros:
d = \sqrt{(-3-0)^{2}+(2-0)^{2}} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}.

Passo 5

Comparando d com r_{1}+r_{2} e \bigl|r_{1}-r_{2}\bigr|:
r_{1}+r_{2}=4+3=7, \quad \bigl|r_{1}-r_{2}\bigr|=|4-3|=1, \quad d=\sqrt{13}\approx3{,}6.
Como
1 < \sqrt{13} < 7,
as circunferências se intersectam em dois pontos.

Resposta

Elas se intersectam em dois pontos.

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