Qual a equação de uma reta tangente à elipse de equação x^{2}+2 y^{2}=1 que passa pelo ponto (2,2) ?
a. (6+\sqrt{13}) x+3 y-6-2 \sqrt{13}=0.
b. (8+\sqrt{22}) x-6 y-4-2 \sqrt{22}=0.
c. (9+\sqrt{39}) x+6 y-30-2 \sqrt{39}=0.
d. (9+\sqrt{39}) x-6 y-6-2 \sqrt{39}=.
e. \quad(8+\sqrt{22}) x+6 y-28-2 \sqrt{22}=0.

Passo 1

O enunciado pede a reta que é tangente à elipse
x^{2}+2y^{2}=1
e que passa pelo ponto (2,2).
O conteúdo é geometria analítica: vamos parametrizar a reta por sua coeficiente angular m e impor a condição de tangência via discriminante de uma equação quadrática.

Passo 2

A reta que passa por (2,2) tem equação
y = m x + b
e, impondo y(2)=2, obtemos
2 = m\cdot 2 + b \quad\Longrightarrow\quad b = 2 - 2m.

Passo 3

Substituindo y = m x + b na elipse, temos
x^{2} + 2\bigl(m x + b\bigr)^{2} = 1.
Isso gera uma equação quadrática em x,
(1+2m^{2})x^{2} + 4m b\,x + (2b^{2}-1)=0,
que deve ter discriminante igual a zero para haver tangência. Fazendo \Delta=0 e usando b=2-2m chega-se a
6m^{2} -16m +7 = 0
cuja solução é
m = \frac{8\pm \sqrt{22}}{6}.

Passo 4

Para a escolha m = \tfrac{8+\sqrt{22}}{6}, calculemos
b = 2 - 2m = 2 - 2\cdot \frac{8+\sqrt{22}}{6} = -\frac{2+\sqrt{22}}{3}.
Assim a reta é
y = \frac{8+\sqrt{22}}{6}\,x \;-\;\frac{2+\sqrt{22}}{3}.
Multiplicando ambos os lados por 6 e rearranjando, obtemos
(8+\sqrt{22})x \;-\;6y \;-\;4 \;-\;2\sqrt{22} \;=\;0,
que coincide com a alternativa (b).

Passo 5

Conferimos as alternativas e verificamos que a opção (b) é exatamente
(8+\sqrt{22})x -6y -4 -2\sqrt{22}=0.

Resposta

(b)

Exercícios relacionados