Questão 9. Bases \mathcal{B}=\{(1,0),(0,1)\}, \mathcal{B}^{\prime}=\{(2,1),(1,-1)\} :
a) Determine a matriz de mudança de base de \mathcal{B}^{\prime} \rightarrow \mathcal{B}
b) Encontre as coordenadas do vetor v=(3,2) na base \mathcal{B}^{\prime}
Passo 1
O enunciado fornece as bases \mathcal{B}=\{(1,0),(0,1)\} e \mathcal{B}'=\{(2,1),(1,-1)\} em \mathbb{R}^2 e o vetor \displaystyle v=(3,2). Pede-se:
(a) a matriz de mudança de base de \mathcal{B}' para \mathcal{B};
(b) as coordenadas de v na base \mathcal{B}'.
Vamos usar o conceito de matriz de mudança de base e resolver um sistema linear para encontrar as coordenadas.
Passo 2
Para determinar a matriz de mudança de base de \mathcal{B}'\to\mathcal{B}, lembramos que as colunas dessa matriz são as coordenadas dos vetores de \mathcal{B}' expressos na base canônica \mathcal{B}.
Passo 3
Os vetores de \mathcal{B}' são
b'_1=(2,1),\quad b'_2=(1,-1)
em coordenadas da base \mathcal{B}. Portanto a matriz de mudança de base é