Questão 9. Bases \mathcal{B}=\{(1,0),(0,1)\}, \mathcal{B}^{\prime}=\{(2,1),(1,-1)\} :
a) Determine a matriz de mudança de base de \mathcal{B}^{\prime} \rightarrow \mathcal{B}
b) Encontre as coordenadas do vetor v=(3,2) na base \mathcal{B}^{\prime}

Passo 1

O enunciado fornece as bases \mathcal{B}=\{(1,0),(0,1)\} e \mathcal{B}'=\{(2,1),(1,-1)\} em \mathbb{R}^2 e o vetor \displaystyle v=(3,2). Pede-se:
(a) a matriz de mudança de base de \mathcal{B}' para \mathcal{B};
(b) as coordenadas de v na base \mathcal{B}'.
Vamos usar o conceito de matriz de mudança de base e resolver um sistema linear para encontrar as coordenadas.

Passo 2

Para determinar a matriz de mudança de base de \mathcal{B}'\to\mathcal{B}, lembramos que as colunas dessa matriz são as coordenadas dos vetores de \mathcal{B}' expressos na base canônica \mathcal{B}.

Passo 3

Os vetores de \mathcal{B}' são
b'_1=(2,1),\quad b'_2=(1,-1)
em coordenadas da base \mathcal{B}. Portanto a matriz de mudança de base é
P_{\mathcal{B}'\to\mathcal{B}} =\begin{pmatrix} 2 & 1\\\\ 1 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para achar as coordenadas de v na base \mathcal{B}', escrevemos
v=\alpha\,b'_1+\beta\,b'_2
ou seja, resolvemos o sistema linear para \alpha e \beta.

Passo 5

Escrevendo as componentes, obtemos
\begin{cases} 2\alpha+\beta=3,\\\ \alpha-\beta=2. \end{cases}
Podemos, por exemplo, somar as duas equações ou isolar \beta.

Passo 6

Da segunda equação \beta=\alpha-2. Substituindo na primeira:
2\alpha+(\alpha-2)=3 \quad\Longrightarrow\quad 3\alpha=5 \quad\Longrightarrow\quad \alpha=\tfrac{5}{3},
logo \beta=\tfrac{5}{3}-2=-\tfrac{1}{3}. Assim as coordenadas de v em \mathcal{B}' são \bigl(\tfrac{5}{3},-\tfrac{1}{3}\bigr).

Resposta

(a)
P_{\mathcal{B}'\to\mathcal{B}} =\begin{pmatrix} 2 & 1\\\\ 1 & -1 \end{pmatrix}.
(b)
[v]_{\mathcal{B}'} =\begin{pmatrix} \tfrac{5}{3}\\\\ -\tfrac{1}{3} \end{pmatrix}.

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