Q6: Sabemos que existe P inversível tal que:
\left[\begin{array}{rrr} 1 & 4 & 6 \\\\ -3 & -6 & -6 \\\\ -1 & 2 & 6 \end{array}\right]=P\left[\begin{array}{rrr} -2 & 0 & 0 \\\\ 0 & a & 0 \\\\ 0 & 0 & b \end{array}\right] P^{-1} \quad \text { com } \quad a<b .
A 3^{\text {a }} coluna da matriz P é múltipla de:
(A) \left[\begin{array}{r}1 \\\ \star \\\\ -2\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{r}1 \\\ \star \\\\ -1\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{c}1 \\\ \star \\\\ 0\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{c}1 \\\ \star \\\\ 1\end{array}\right]
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 6 \\\\ -3 & -6 & -6 \\\\ -1 & 2 & 6 \end{pmatrix}
e afirma que existe uma matriz inversível P que a diagonaliza como
A = P \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0\\\\ 0 & a & 0\\\\ 0 & 0 & b \end{pmatrix} P^{-1},
com a<b.
Para diagonalizar, precisamos achar os autovalores de A e os autovetores correspondentes; em particular, o 3º autovetor será a 3ª coluna de P.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 4 & 6 \\\\ -3 & -6-\lambda & -6 \\\\ -1 & 2 & 6-\lambda \end{pmatrix}.
Fazendo a expansão, chega-se a
-\lambda^3 + \lambda^2 + 6\lambda = -\lambda(\lambda^2 - \lambda - 6) = -\lambda(\lambda-3)(\lambda+2).
Logo, os autovalores são
\lambda = -2,\;0,\;3.
Como no enunciado os valores na diagonal são -2,\,a,\,b com a<b, temos a=0 e b=3.

Passo 3

O autovetor associado a \lambda=3 satisfaz (A-3I)v=0. Primeiro,
A-3I = \begin{pmatrix} -2 & 4 & 6 \\\\ -3 & -9 & -6 \\\\ -1 & 2 & 3 \end{pmatrix}.
Resolvendo o sistema, obtemos as equações
x = 2y+3z e x = -3y -2z, que implicam y=-z e x=z.
Portanto
v = z\,(1,-1,1),
e podemos escolher
\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}
como gerador do autovetor.

Passo 4

Como a 3ª coluna de P é um múltiplo do autovetor de \lambda=3, ela deve ser múltipla de
\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}.
Isso corresponde à alternativa (D), em que \star = -1.

Resposta

(D)

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