Questão 1 (30 pontos). Considere o subespaço
de
.
(a) Encontre uma base ortogonal de
que contenha uma base de
.
(b) Seja
. A união
é um subespaço de
? Justifique.
(a) Encontre uma base ortogonal de
(b) Seja
Passo 1
O enunciado define o subespaço
que é um plano de dimensão
em
. Precisamos de (a) uma base ortogonal de
que contenha dois vetores em
, e (b) analisar se a união
, com
é subespaço. Para (a) vamos parametrizar
, escolher duas direções e ortogonalizá-las, depois completar com o vetor normal; para (b) usaremos o critério de subespaço via fechamento na soma.
Passo 2
Parametrizamos
resolvendo
, ou seja
. Logo
Uma base natural de
é
, mas
, então não são ortogonais.
Passo 3
Aplicamos Gram–Schmidt em
. Definimos
Verificamos
, logo
é ortogonal e forma base de
.
Passo 4
Um vetor normal a
é
, pois ele vem dos coeficientes da equação
. Checamos
portanto
é ortogonal a
e
. Assim
é uma base ortogonal de
que contém a base
de
.
Passo 5
Para (b),
é a reta
. Se
fosse subespaço, teria de ser fechado sob soma. Tomemos
Então
Verificamos
, logo
. Também não está em
pois as coordenadas não são todas iguais. Falha o fechamento na soma, então
não é subespaço.
Resposta
(a) Uma base ortogonal é
.
(b) não é subespaço de
, pois não está fechado sob adição.
(b)