Questão 1 (30 pontos). Considere o subespaço
S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid 2 x+5 y-z=0\right\}
de \mathbb{R}^{3}.
(a) Encontre uma base ortogonal de \mathbb{R}^{3} que contenha uma base de S.
(b) Seja T=\left\{(x, x, x) \in \mathbb{R}^{3} \mid x \in \mathbb{R}\right\}. A união S \cup T é um subespaço de \mathbb{R}^{3} ? Justifique.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid 2x+5y-z=0\},
que é um plano de dimensão 2 em \mathbb{R}^3. Precisamos de (a) uma base ortogonal de \mathbb{R}^3 que contenha dois vetores em S, e (b) analisar se a união S\cup T, com
T=\{(x,x,x)\mid x\in\mathbb{R}\},
é subespaço. Para (a) vamos parametrizar S, escolher duas direções e ortogonalizá-las, depois completar com o vetor normal; para (b) usaremos o critério de subespaço via fechamento na soma.

Passo 2

Parametrizamos S resolvendo 2x+5y-z=0, ou seja z=2x+5y. Logo
(x,y,z)=(x,y,2x+5y)=x\,(1,0,2)+y\,(0,1,5).
Uma base natural de S é \{v_1=(1,0,2),\,v_2=(0,1,5)\}, mas v_1\cdot v_2=10\neq0, então não são ortogonais.

Passo 3

Aplicamos Gram–Schmidt em v_1,v_2. Definimos
u_1=v_1=(1,0,2),
u_2=v_2-\frac{v_2\cdot u_1}{u_1\cdot u_1}\,u_1 =(0,1,5)-\frac{10}{5}\,(1,0,2) =(0,1,5)-2\,(1,0,2) =(-2,1,1).
Verificamos u_1\cdot u_2=1\cdot(-2)+0\cdot1+2\cdot1=0, logo \{u_1,u_2\} é ortogonal e forma base de S.

Passo 4

Um vetor normal a S é n=(2,5,-1), pois ele vem dos coeficientes da equação 2x+5y-z=0. Checamos
n\cdot u_1=2\cdot1+5\cdot0+(-1)\cdot2=0, \quad n\cdot u_2=2\cdot(-2)+5\cdot1+(-1)\cdot1=0,
portanto n é ortogonal a u_1 e u_2. Assim
\{\,u_1=(1,0,2),\;u_2=(-2,1,1),\;n=(2,5,-1)\}
é uma base ortogonal de \mathbb{R}^3 que contém a base \{u_1,u_2\} de S.

Passo 5

Para (b), T é a reta \mathrm{span}\{(1,1,1)\}. Se S\cup T fosse subespaço, teria de ser fechado sob soma. Tomemos
u=(1,0,2)\in S,\quad v=(1,1,1)\in T.
Então
u+v=(2,1,3).
Verificamos 2\cdot2+5\cdot1-3=4+5-3=6\neq0, logo u+v\notin S. Também não está em T pois as coordenadas não são todas iguais. Falha o fechamento na soma, então S\cup T não é subespaço.

Resposta

(a) Uma base ortogonal é
(1,0,2), (-2,1,1), (2,5,-1).
(b) S \cup T não é subespaço de \mathbb{R}^3, pois não está fechado sob adição.

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